만유인력과 케플러 법칙

Gravitation and Kepler's Laws

사과가 떨어지는 힘과 달이 지구를 도는 힘은 같은 만유인력이고, 모든 질량은 서로 끌어당기며 거리 제곱에 반비례해요. 케플러 법칙은 타원 궤도, 면적 속도 일정, 주기 제곱이 장반경 세제곱에 비례한다는 세 가지예요. 만유인력 공식에서 인공위성의 궤도 속도도 유도할 수 있어요. 이 페이지에서는 이심률을 슬라이더로 바꿔 가며 타원 궤도와 면적 속도 법칙을 직접 확인해 봐요.

만유인력의 직관

🌍 뉴턴의 사과와 달

①사과가 떨어지는 힘과 달이 지구를 도는 힘은 같다!

②모든 질량은 서로 끌어당긴다. 만유인력

③거리가 멀수록 힘이 약해진다 (거리 제곱에 반비례)

케플러 법칙 시각화

이심률 e (x100)40%

💡 케플러 3법칙

①제1법칙(타원 궤도): 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다

②제2법칙(면적 속도): 같은 시간에 쓸어가는 면적이 같다 (근일점에서 빠르게!)

③제3법칙(조화 법칙): T² ∝ a³ (주기의 제곱은 장반경의 세제곱에 비례)

만유인력 공식

만유인력 법칙

F = GMmr²

G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg², M: 중심 천체 질량, m: 궤도 물체 질량

중력 가속도와 만유인력

g = GMR²

지표면 중력가속도 = GM/R² ≈ 9.8 m/s²

케플러 제3법칙

케플러 제3법칙 (조화 법칙)

T² = 4π²GMa³

주기²는 장반경³에 비례: 만유인력으로부터 유도 가능!

🛰️ 인공위성에 적용

①인공위성의 구심력 = 만유인력: mv²/r = GMm/r²

②궤도 속도: v = √(GM/r) 높이에만 의존

③정지 위성: T = 24시간 → r ≈ 36,000 km 상공

예제로 익히기

예제 1

두 물체 사이의 거리를 3배로 늘리면 만유인력의 크기는 몇 배가 되는가?

만유인력은 F = GMm/r²로 거리의 제곱에 반비례한다.

F = GMmr²

r이 3배면 r²은 9배 → F는 1/9배.

r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)² = 19F

▸ 19배

만유인력은 거리 제곱에 반비례. 거리가 n배면 힘은 1/n²배가 된다.

예제 2

행성 A의 공전 주기가 행성 B의 8배일 때, A의 궤도 장반경은 B의 몇 배인가? (케플러 제3법칙)

케플러 제3법칙 T² ∝ a³에서 a ∝ T⁽2/3).

T² ∝ a³ ⇒ a ∝ T^2/3

T가 8배이므로 a는 8⁽2/3) = 4배.

a_A/a_B = 8^2/3 = (2³)^2/3 = 4

▸ 4배

T² ∝ a³에서 주기비의 2/3 제곱이 장반경비. 8 = 2³이므로 8⁽2/3) = 4로 깔끔하게 떨어진다.

총정리

만유인력

F = GMmr²

케플러 3법칙

T² ∝ a³

수능 유형 변형

지구 표면에서의 중력 가속도가 g일 때, 지구 반지름의 2배 높이(중심에서 거리 3R)에서의 중력 가속도는?

①g2

②g3

③g4

④g9

⑤g6

▸ ④ g9

중력 가속도는 g = GM/r²로 중심으로부터 거리의 제곱에 반비례한다.

g = GMr²

지표면 r = R, 문제 지점 r = 3R이므로 g는 1/9배.

g(3R) = GM(3R)² = g9

🎯 시험 포인트

①만유인력: F = GMm/r² (거리 제곱에 반비례)

②궤도 속도: v = √(GM/r) 높을수록 느리다

③케플러 1법칙: 타원 궤도 (태양이 초점)

④케플러 2법칙: 면적 속도 일정 (근일점에서 빠르다)

⑤케플러 3법칙: T² = (4π²/GM)a³. 주기²∝장반경³