포물선 운동

Projectile Motion

비스듬히 던진 물체는 수평으로는 등속으로, 연직으로는 중력에 의한 등가속도 운동을 동시에 해요. 두 운동은 서로 독립이고 시간만 공유하며, 사거리는 θ = 45°에서 최대이고 θ와 90°−θ는 같아요. 최고점에서도 수평 속도는 남아 있어 속력이 0이 아니에요. 이 페이지에서는 발사각과 초기 속력을 슬라이더로 바꿔 가며 궤도와 사거리·최고 높이를 직접 확인해 봐요.

수평과 연직은 서로 간섭하지 않는다

🎯 운동의 독립성

①비스듬히 던진 물체는 수평 운동과 연직 운동을 동시에 한다

②수평: 힘이 없어 속도 일정(등속)

③연직: 중력만 작용해 등가속도 운동

④두 운동은 서로 독립이며, 시간 t만 공유한다

발사각과 속력을 바꿔보자

발사각 θ45°

초기 속력 v₀20 m/s

📐 왜 45°에서 가장 멀리 갈까?

①사거리 R = v₀²sin2θ/g: sin2θ가 최대(=1)인 θ=45°에서 가장 멀다

②θ와 90°−θ는 사거리가 같다 (예: 30°와 60°)

③각이 클수록 더 높이·더 오래 난다

수평·연직 운동을 식으로

수평 방향: 등속

x = v₀ cosθ · t, v_x = v₀ cosθ

수평 속도는 변하지 않는다 (힘 없음)

연직 방향: 등가속

y = v₀ sinθ · t − 12gt², v_y = v₀ sinθ − gt

중력 g가 연직 속도를 매 순간 줄였다 늘린다

사거리·최고 높이·체공 시간

수평 도달 거리(사거리)

R = v₀² sin2θg

θ=45°에서 최대

최고 높이

H = (v₀ sinθ)²2g

최고점에서 v_y = 0

체공 시간

T = 2 v₀ sinθg

올라가는 시간과 내려오는 시간이 같다

발사각 비교

Chart같은 v₀에서 발사각별 (g=10)

발사각	사거리	최고 높이
30°	중간 (sin60°)	낮음
45°	최대 (sin90°=1)	중간
60°	중간 (sin120°=sin60°)	높음

개념을 문제로

예제 1: 사거리 계산

초기 속력 20 m/s, 발사각 45°로 던진 물체의 수평 도달 거리를 구하시오. (g=10 m/s²)

사거리 공식에 대입한다.

R = v₀² sin2θg

sin(2·45°)=sin90°=1을 넣는다.

R = 20² × 110 = 40

▸ 40 m

45°는 sin2θ가 1로 최대가 되어 사거리가 가장 길다.

예제 2: 최고점에서의 속력

초기 속력 20 m/s, 발사각 60°로 던진 물체가 최고점에 있을 때의 속력과 운동 방향을 구하시오.

최고점에서 연직 속도 v_y = 0이므로 속력은 수평 성분뿐이다.

수평 속도를 구한다.

v_x = v₀ cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0.5 = 10

▸ 속력 10 m/s, 방향은 수평

최고점에서도 수평 속도는 그대로 남아 있어 속력이 0이 아니다. 이 점을 자주 놓친다.

시험 포인트

수능 유형 변형 (물리학Ⅱ)

같은 초기 속력으로 물체 A는 30°, 물체 B는 60°로 던졌다. 두 물체에 대한 옳은 설명을 고르시오. (공기 저항 무시)

①A의 사거리가 B보다 크다.

②A와 B의 사거리는 같다.

③A가 B보다 더 높이 올라간다.

④A의 체공 시간이 B보다 길다.

⑤최고점에서 두 물체의 속력은 0이다.

▸ ② A와 B의 사거리는 같다.

사거리 R ∝ sin2θ인데 sin(2·30°)=sin60°, sin(2·60°)=sin120°=sin60°로 같다 → ②.

최고 높이 H ∝ sin²θ이므로 60°인 B가 더 높이 올라가고 체공 시간도 길다 → ③·④ 오답.

최고점에서도 수평 속도 v₀cosθ가 남아 속력은 0이 아니다 → ⑤ 오답.

🎯 시험 포인트

①수평=등속(v₀cosθ), 연직=등가속(중력): 운동의 독립성

②사거리 R=v₀²sin2θ/g, θ=45°에서 최대, θ와 90°−θ는 같음

③최고 높이 H=(v₀sinθ)²/2g, 최고점에서 v_y=0

④체공 시간 T=2v₀sinθ/g

⑤최고점 속력은 0이 아니라 수평 성분 v₀cosθ