고등학교 2~3학년 (16-18세)

물리학II 포물선 운동

Projectile Motion

비스듬히 던진 물체는 수평 방향으로는 속도가 일정한 운동을, 연직 방향으로는 중력 때문에 가속도가 일정한 운동을 동시에 해요. 두 운동은 서로 영향을 주지 않고 시간만 함께 쓰며, 같은 속력이면 사거리는 발사각 45° 에서 가장 길고 θ 와 90° − θ 로 던진 두 물체는 같은 곳에 떨어져요. 최고점에서 연직 속도는 0 이 되지만 수평 속도는 그대로 남아 있어서 속력이 0 이 되지는 않아요. 그림에서 발사각과 처음 속력을 바꾸면 궤도와 함께 사거리, 최고 높이, 최고점의 속력이 바뀌어요.

수평 운동과 연직 운동은 따로 일어난다

🎯 운동의 독립성

①비스듬히 던진 물체는 수평 운동과 연직 운동을 동시에 한다

②수평 방향으로는 힘이 없어 속도가 일정하다(등속 운동)

③연직 방향으로는 중력만 작용해 가속도가 g 로 일정하다(등가속도 운동)

④두 운동은 서로 영향을 주지 않고 시간 t 만 함께 쓴다

발사각과 처음 속력에 따른 궤도

발사각 θ45°

처음 속력 v₀20 m/s

📐 왜 45° 에서 가장 멀리 갈까

①사거리 R = v₀² sin2θ/g 는 sin2θ 가 가장 큰 1 이 되는 θ = 45° 에서 가장 길다

②θ 와 90° − θ 는 sin2θ 가 같아 사거리도 같다(예: 30° 와 60°)

③발사각이 클수록 더 높이 올라가 더 오래 날지만, 수평 속도가 줄어 45° 를 넘으면 사거리가 짧아진다

수평 운동과 연직 운동의 식

수평 방향: 등속 운동

x = v₀ cosθ · t, v_x = v₀ cosθ

수평 방향에는 힘이 없어 수평 속도가 변하지 않는다

연직 방향: 등가속도 운동

y = v₀ sinθ · t − 12gt², v_y = v₀ sinθ − gt

올라갈 때는 중력이 v_y 를 줄이고, 내려올 때는 늘린다

사거리, 최고 높이, 체공 시간

수평 도달 거리(사거리)

R = v₀² sin2θg

처음 속력이 같으면 θ = 45° 에서 가장 길다

최고 높이

H = (v₀ sinθ)²2g

최고점에서 v_y = 0 이 되는 높이

체공 시간

T = 2 v₀ sinθg

올라가는 시간과 내려오는 시간이 같아, 체공 시간은 올라가는 시간의 두 배다

발사각 비교

처음 속력 v₀ = 20 m/s 에서 발사각별 비교(g = 10 m/s²)

발사각	사거리	최고 높이	체공 시간
30°	34.6 m	5 m	2 s
45°	40 m	10 m	2.8 s
60°	34.6 m	15 m	3.5 s

개념을 문제로

예제 1: 사거리 구하기

초기 속력 20 m/s, 발사각 45°로 던진 물체의 수평 도달 거리를 구하시오. (g=10 m/s²)

사거리 공식에 값을 넣는다.

R = v₀² sin2θg

sin(2 × 45°) = sin 90° = 1 을 넣는다.

R = 20² × 110 = 40

▸ 40 m

45° 는 sin2θ 가 가장 큰 1 이 되는 각이라 같은 속력에서 사거리가 가장 길다.

예제 2: 최고점에서의 속력

초기 속력 20 m/s, 발사각 60°로 던진 물체가 최고점에 있을 때의 속력과 운동 방향을 구하시오.

최고점에서는 연직 속도 v_y = 0 이므로 속력은 수평 성분만 남는다.

수평 속도를 구한다.

v_x = v₀ cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0.5 = 10

▸ 속력 10 m/s, 방향은 수평

최고점에서도 수평 속도는 처음 그대로라 속력이 0 이 아니다. 그림의 초록 화살표가 바로 이 속도다.

시험 포인트

수능 유형 변형 (물리학Ⅱ)

같은 초기 속력으로 물체 A는 30°, 물체 B는 60°로 던졌다. 두 물체에 대한 옳은 설명을 고르시오. (공기 저항 무시)

①A의 사거리가 B보다 크다.

②A와 B의 사거리는 같다.

③A가 B보다 더 높이 올라간다.

④A의 체공 시간이 B보다 길다.

⑤최고점에서 두 물체의 속력은 0이다.

▸ ② A와 B의 사거리는 같다.

사거리는 R ∝ sin2θ 이고 sin(2 × 30°) = sin 60°, sin(2 × 60°) = sin 120° = sin 60° 로 같으므로 ② 가 옳다.

최고 높이는 H ∝ sin²θ 라서 60° 로 던진 B 가 더 높이 올라가고 체공 시간도 길다. 그러므로 ③, ④ 는 틀리다.

최고점에서도 수평 속도 v₀cosθ 가 남아 속력은 0 이 아니므로 ⑤ 도 틀리다.

🎯 시험 포인트

①수평은 등속 운동(v₀cosθ), 연직은 중력에 의한 등가속도 운동이며 두 운동은 서로 독립이다

②사거리 R = v₀² sin2θ/g 는 θ = 45° 에서 가장 길고, θ 와 90° − θ 에서 같다

③최고 높이 H = (v₀sinθ)²/2g 이고, 최고점에서 v_y = 0 이다

④체공 시간 T = 2v₀sinθ/g

⑤최고점의 속력은 0 이 아니라 수평 성분 v₀cosθ 다

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마지막 수정 2026-10-17

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