물리학II 등속 원운동

원운동은 가속 운동이다

속력계의 숫자가 그대로여도 원을 도는 물체의 속도는 같지 않다. 속도는 크기와 방향을 함께 가진 벡터이고, 원 위에서는 접선 방향이 자리마다 달라서 속도가 매 순간 바뀐다. 이 변화를 셈에 넣지 않으면 인공위성이 지구를 도는 일도, 실에 묶은 공이 원을 그리는 일도 설명할 수 없다. 반지름 r 과 각속도 ω 를 알면 선속도는 v = rω, 구심 가속도는 a = v²/r = rω² 이고, 한 바퀴 도는 데 걸리는 주기는 T = 2π/ω 다. 이 가속도를 만드는 중심 방향의 알짜힘이 구심력 F = ma 이며, 세 식은 방향이 바뀌는 운동을 가속 운동으로 다루는 출발점이 된다.

속도와 구심 가속도 그리기

그림 가운데의 원이 궤도이고, 오른쪽 아래의 초록 점이 시계 반대 방향으로 도는 물체의 한 순간 자리다. 점에서 오른쪽 위로 뻗은 주황 화살표가 접선 방향의 속도 v, 중심 O 쪽으로 뻗은 빨간 화살표가 구심 가속도 a_c 이고, 점선이 반지름 r 이다. 화살표 길이는 속도와 가속도 각각에 정해진 비율로 그려서 슬라이더를 움직일 때 크기 변화를 견줄 수 있다. 반지름 슬라이더를 1 m 에서 6 m 사이로 움직이면 원과 두 화살표가 함께 커지고, 각속도 슬라이더를 0.5 rad/s 에서 3 rad/s 사이로 움직이면 원의 크기는 그대로인 채 화살표만 길어지는데, 빨간 화살표가 주황 화살표보다 훨씬 빨리 자란다. a = rω² 에는 각속도가 제곱으로 들어가기 때문이다.

등속 원운동의 식

흔히 속력이 일정하면 가속도가 0 이라고 생각한다. 그러나 가속도는 속도가 시간에 따라 변하는 정도이고 속도에는 방향이 들어 있으므로, 원을 도는 동안 가속도는 0 이 아니다. 구심력을 진행 방향으로 그리는 실수도 잦은데, 구심력은 언제나 중심을 향해 진행 방향과 수직이라 속력은 바꾸지 못하고 방향만 바꾼다. 실이 끊기는 순간 물체는 바깥쪽으로 튕겨 나가는 것이 아니라 그 순간의 접선 방향으로 곧게 나아간다. 그래서 식에 값을 넣기 전에 어느 화살표가 접선이고 어느 화살표가 중심을 향하는지부터 가리는 것이 좋다.

예제로 익히기

정리