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전기기사 전기자기학 · 전위

Electric Potential

전위는 전기적인 높이라고 보면 쉬워요. 산에서 공이 낮은 곳으로 굴러가듯 양전하는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직이고, 전위는 방향이 없는 스칼라라 벡터인 전계보다 다루기 편해요. 점전하의 전위는 1/r 로 줄어 전계의 1/r² 보다 천천히 작아지고, 등전위면은 전기력선과 늘 수직으로 만나요. 전하와 거리 슬라이더를 움직이면 점 P 가 동심원 등전위선 사이를 옮겨 가고, 아래 그래프의 금색 점도 1/r 곡선을 따라 같이 움직여요.

전위란 무엇인가

🏔️ 전위는 전기적인 높이
산 위에서 공을 놓으면 아래로 굴러가듯이, 양전하는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직인다. 전위는 숫자 하나로 정해지는 스칼라라서 방향까지 따져야 하는 전계보다 다루기 쉽다.
💡 전위의 정의
단위 양전하를 무한히 먼 곳에서 그 점까지 옮겨 오는 데 드는 일이 그 점의 전위다. 단위는 [V] = [J/C] 이고, 무한히 먼 곳의 전위를 0 으로 잡는다.

점전하의 전위

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3m
📏 거리에 따른 전위 변화
동심원이 등전위선이고, 원 위에 적힌 V∝ 값은 안쪽 원일수록 크다. 아래 그래프에서 전위는 V ∝ 1/r 로 줄어들며, 같은 거리를 멀어질 때 전계(1/r²)보다 천천히 작아진다. 전하를 음수로 바꾸면 곡선이 가로축 아래로 뒤집혀요.
점전하의 전위
V = Q4πε0 r [V]
전계는 1/r², 전위는 1/r 로 거듭제곱이 하나 다르다

등전위면과 전계

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📐 등전위면 ⊥ 전기력선
동심원 등전위선과 빨간 전계 화살표는 어디서나 수직으로 만난다. 등전위면 위에서는 전위가 같으므로 전하를 그 위로 옮겨도 일이 들지 않고, 일을 하려면 등전위면을 가로질러야 해요.
등전위면 위의 일
W = 0
등전위면 위에서 전계는 이동 방향에 수직이라 E·dl = 0 이다

전위와 전계의 관계

전계에서 전위로(적분)
V = −∫ E · dl
전계를 경로를 따라 적분하면 전위차가 나온다
전위에서 전계로(미분)
E = −∇V = −grad V
전위의 기울기에 마이너스를 붙이면 전계다. 마이너스는 내리막 방향이라는 뜻이다
전위차
VAB = VA − VB = −∫(A→B) E · dl
두 점 사이의 전위차는 전계의 경로 적분이다
🔗 E 와 V 는 동전의 양면
전계에서 전위는 적분 V = −∫E·dl 로, 전위에서 전계는 미분 E = −∇V 로 얻는다. 두 식 모두 마이너스가 붙는 까닭은 전계가 전위가 낮아지는 내리막 쪽을 향하기 때문이에요.
⚡ 실전 요령
점전하 여러 개가 있으면 전위를 먼저 스칼라로 더하고, 그다음 E = −∇V 로 전계를 구하는 편이 편해요. 전계를 벡터로 더하는 것보다 전위를 숫자로 더하는 쪽이 훨씬 간단하기 때문이다.

시험 포인트 정리

점전하의 전위
V = Q4πε0 r
스칼라이고 1/r 에 비례한다
점전하의 전계
E = Q4πε0 r2
벡터이고 1/r² 에 비례한다
⚡ 전위와 전계 오가기
V 에서 E 는 음의 기울기 −∇V 로, E 에서 V 는 선적분으로 얻는다. 두 길은 서로 거꾸로 가는 관계다
V → E
E = −∇V
미분
E → V
V = −∫E·dl
적분
여러 전하의 전위
V = Σ Qi4πε0 ri
전위는 스칼라라서 부호만 챙겨 그대로 더한다(벡터 합이 아니다)
🎯 시험 포인트
①점전하의 전위 V = Q/4πε₀r 는 1/r 로 줄어 전계의 1/r² 와 구별된다
②E = −∇V 의 마이너스는 전계가 전위가 낮아지는 쪽을 향한다는 뜻이에요
③전위는 스칼라라서 여러 전하의 전위는 부호를 챙겨 그대로 더한다
④등전위면 위를 따라 옮기는 일은 0 이다
⑤전위차는 V_AB = V_A − V_B = −∫(A→B) E·dl 이다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 2 μC 점전하에서 50 cm 떨어진 곳의 전위를 구하시오. (답: V = 9×10⁹ × 2×10⁻⁶ / 0.5 = 36 kV)
②[기출유형] V = x² + y² 일 때 원점의 전계를 구하시오. (답: E = −∇V = −2x·x̂ − 2y·ŷ 이므로 원점에서 E = 0)
③[기출유형] +Q 와 −Q 가 d 만큼 떨어져 있을 때 중점의 전위를 구하시오. (답: V = Q/4πε₀(d/2) + (−Q)/4πε₀(d/2) = 0)
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