전위

Electric Potential

전위는 전기적인 높이라고 생각하면 쉬워요. 산에서 공이 낮은 곳으로 굴러가듯 양전하는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 움직이고, 전위는 방향이 없는 스칼라라서 벡터인 전계보다 다루기 쉬워요. 점전하의 전위는 거리에 반비례해 1/r로 줄어들어 전계의 1/r²보다 천천히 감소하고, 등전위면은 전기력선과 항상 수직으로 만나요. 슬라이더로 전하와 거리를 바꿔 등전위선의 간격과 전위 그래프가 어떻게 변하는지 확인해 봐요.

전위란 무엇인가

🏔️ 전위 = 전기적 높이

산 위에서 공을 놓으면 아래로 굴러가듯이, 양전하는 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동한다. 전위는 스칼라(숫자 하나)이므로 전계(벡터)보다 다루기 쉽다.

💡 전위의 정의

단위 양전하를 무한대에서 그 점까지 옮기는 데 필요한 일(에너지). 단위: [V] = [J/C]. 무한대에서 전위 = 0으로 기준을 잡는다.

점전하의 전위

전하 Q2

거리 r3m

📏 거리에 따른 전위 변화

동심원이 등전위선이다. 가까울수록 전위가 높고(원이 촘촘), 멀수록 낮다. 그래프에서 V ∝ 1/r: 전계(1/r²)보다 천천히 감소한다.

점전하의 전위

V = Q4πε₀ r [V]

전계는 1/r², 전위는 1/r: 지수가 1 차이

등전위면과 전계

전하 Q2

📐 등전위면 ⊥ 전기력선

등전위선(동심원)과 전계(빨간 화살표)가 항상 수직으로 만난다. 등전위면 위에서는 전위가 같으므로 전하를 옮겨도 일을 하지 않는다. 일을 하려면 등전위면을 '관통'해야 한다.

등전위면 위의 일

W = 0

등전위면 위에서 전계는 수직이므로 E·dl = 0

전위와 전계의 관계

전계에서 전위 (적분)

V = −∫ E · dl

전계를 경로 적분하면 전위차를 구할 수 있다

전위에서 전계 (미분)

E = −∇V = −grad V

전위를 미분(기울기)하면 전계가 된다. 마이너스 = 내리막 방향

전위차

V_AB = V_A − V_B = −∫(A→B) E · dl

두 점 사이의 전위차 = 전계의 경로 적분

🔗 E와 V는 동전의 양면

전계 → 전위: 적분 (V = −∫E·dl). 전위 → 전계: 미분 (E = −∇V). 마이너스 부호가 붙는 이유: 전계는 전위가 감소하는 방향(내리막)을 향한다.

⚡ 실전 팁

점전하 문제에서 전위를 먼저 구하고(스칼라 합), 그 다음 E = −∇V로 전계를 구하는 게 편하다. 전계의 벡터 합보다 전위의 스칼라 합이 훨씬 쉽기 때문이다.

시험 포인트 정리

점전하의 전위

V = Q4πε₀ r

스칼라. 1/r에 비례

점전하의 전계

E = Q4πε₀ r²

벡터. 1/r²에 비례

⚡ 전위와 전계의 상호 변환

V에서 E를 구하려면 음의 기울기(−∇V), E에서 V는 선적분: 역방향 관계

V → E

E = −∇V

미분

E → V

V = −∫E·dl

적분

여러 전하의 전위

V = Σ Q_i4πε₀ r_i

전위는 스칼라 → 부호만 주의하고 단순 합산 (벡터 합 아님!)

🎯 시험 포인트

①V = Q/4πε₀r (점전하), 1/r 감소: 전계의 1/r²와 구별

②E = −∇V: 마이너스 부호 빼먹지 말 것

③전위는 스칼라 → 여러 전하의 전위는 단순 합(부호 주의)

④등전위면 위 이동은 일 = 0

⑤전위차: V_AB = V_A − V_B = −∫(A→B) E·dl

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 2μC 점전하로부터 50cm 거리의 전위를 구하시오. (답: V=9×10⁹×2×10⁻⁶/0.5=36kV)

②[기출유형] V=x²+y²일 때 원점에서의 전계를 구하시오. (답: E=−∇V=−2x·x̂−2y·ŷ, 원점에서 E=0)

③[기출유형] +Q와 −Q가 d만큼 떨어져 있을 때, 중점의 전위를 구하시오. (답: V=Q/4πε₀(d/2)+(-Q)/4πε₀(d/2)=0)