전기력선

Electric Lines of Force

전기력선은 눈에 보이지 않는 전계를 물줄기처럼 그려서 보여 주는 지도예요. 양전하는 물이 솟는 샘, 음전하는 물이 빨려 드는 배수구처럼 생각하면, 선이 촘촘한 곳일수록 전계가 강한 곳이에요. 전기력선은 양전하에서 나와 음전하로 들어가고 서로 교차하지 않는데, 한 점을 지나는 전계의 방향이 오직 하나뿐이기 때문이에요. 슬라이더로 전하량을 바꾸고 단일 전하와 두 전하 배치, 등전위면 표시를 번갈아 켜서 전기력선이 어떻게 그려지고 얼마나 촘촘해지는지 살펴봐요.

전기력선, 보이지 않는 힘의 지도

전하의 크기 Q3Q

🎯 물 흐름으로 이해하기

양전하(+)는 물이 솟아나는 샘, 음전하(−)는 빨려 들어가는 배수구라고 상상해보자.

①전기력선은 이 물줄기의 경로다.

②선이 빽빽한 곳 = 물살이 센 곳 = 전계가 강한 곳!

전기력선의 7가지 성질

📋 전기력선의 규칙

①양전하(+)에서 출발하여 음전하(−)로 들어간다

②전기력선의 접선 방향 = 그 점의 전계 방향

③전기력선의 밀도(단위 면적당 선의 수) = 전계의 세기

④전기력선은 서로 교차하지 않는다

⑤등전위면과 항상 직교한다

⑥도체 표면에 수직으로 출입한다

⑦전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향한다

⚡ 왜 교차할 수 없을까?

만약 두 전기력선이 교차하면, 교차점에서 전계 방향이 2개가 된다.

①하지만 한 점의 전계 방향은 반드시 유일해야 하므로 모순!

②시험에서 '틀린 설명 고르기'에 자주 나온다.

전기력선의 수와 밀도

전하량 Q3Q

전기력선의 총 수

N = Qε₀ [본]

전하 Q[C]에서 나오는 전기력선의 총 수

전기력선 밀도 = 전계

E = N4πr² = Q4πε₀ r² [V/m]

전기력선 밀도 = 전계의 세기 (쿨롱 법칙과 일치!)

💡 밀도가 곧 세기!

전기력선 Q/ε₀개가 반지름 r인 구 표면(4πr²)에 균일하게 퍼진다.

①r이 커지면 → 같은 수의 선이 넓은 면적에 분포 → 밀도 감소

②이것이 역제곱 법칙(1/r²)의 직관적 이유다!

전기력선의 미분 방정식

전기력선 방정식 (직교)

dxE_x = dyE_y = dzE_z

전기력선 위의 미소 이동 ds는 전계 E 방향과 평행

원통좌표계

dρE_ρ = ρdφE_φ = dzE_z

원통 좌표계에서 전기력선

구좌표계

drE_r = rdθE_θ

구 좌표계에서 전기력선

🗺️ 등고선 vs 전기력선

등고선(등전위면)에 직교하는 방향 = 가장 가파른 내리막 = 전계 방향이다.

①전기력선 방정식은 이 '가장 가파른 경로'를 수학적으로 추적하는 것!

②시험에서는 주로 2차원(dx/E_x = dy/E_y)으로 출제된다.

시험 포인트 정리

전기력선 총 수

N = Qε₀

단위: [본]

전기력선 방정식

dxE_x = dyE_y = dzE_z

ds ∥ E

🔗 전기력선의 성질

총 수 N=Q/ε₀는 전하 크기로, 밀도는 전계 크기로 대응된다

밀도 = 전계

E = NA

면적 A 통과 밀도

직교 관계

Field Lines ⊥ Equipotential

항상 직교

🎯 시험 포인트

①전기력선의 총 수 N = Q/ε₀: 단위 주의

②전기력선이 교차하지 않는 이유 = 한 점의 전계 방향은 유일

③등전위면과 전기력선은 항상 직교 → 도체 표면도 등전위면이므로 수직 출입

④전기력선 밀도가 클수록 전계가 강하다 → 역제곱 법칙의 시각적 근거

⑤전기력선 방정식에서 ds ∥ E 조건 이해하면 좌표계 변환도 자연스럽게 도출

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 2μC 점전하에서 나오는 전기력선의 총 수를 구하시오. (답: N=Q/ε₀=2×10⁻⁶/8.854×10⁻¹²≈2.26×10⁵ 본)

②[기출유형] 전기력선에 대한 설명 중 틀린 것은? (핵심: '전기력선은 서로 교차할 수 있다' → 틀림)

③[기출유형] E = 2x·x̂ + y·ŷ인 전계에서 전기력선 방정식을 구하시오. (답: dx/2x = dy/y → y²=Cx)