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전기기사 전기자기학 · 푸아송의 방정식

Poisson's Equation

가우스 법칙은 대칭이 좋을 때만 손으로 풀리니, 전하 분포가 복잡하면 전위 V 에 대한 미분방정식으로 바꾸는 편이 힘이 세요. 전위와 전계의 관계, 가우스 법칙의 미분형, D = εE 를 하나로 묶으면 ∇²V = −ρ_v/ε 라는 푸아송 방정식이 나와요. 라플라시안은 전위의 휘어짐을 재는 연산이라, 양전하가 있는 곳은 전위가 봉우리처럼 솟고 음전하가 있는 곳은 골짜기처럼 꺼지며, 전하가 없는 곳에서는 세 방향 휘어짐의 합이 0 이에요. 전하 위치와 크기 · 부호 슬라이더를 움직이면 금색 전위 곡선의 봉우리나 골짜기가 전하를 따라 옮겨 가요.

왜 새 방정식이 또 필요한가

🤔 가우스 법칙이 이미 있는데
가우스 법칙 ∮D·dS = Q 는 대칭이 있을 때만 손으로 풀린다. 전하 분포가 복잡하면 전위 V 를 써서 문제를 미분방정식으로 바꾸는 편이 훨씬 낫다.
🔗 세 관계를 묶으면
①E = −∇V(전위에서 전계)
②∇·D = ρ_v(가우스 법칙 미분형)
③D = εE(구성 방정식)
④세 식을 묶으면 ∇²V = −ρ_v/ε 가 나온다

라플라시안 ∇²

🌊 라플라시안 ∇² 는 휘어짐을 재는 연산
∇²V 는 전위 V 가 얼마나 휘었는지를 잰다. 양전하가 있는 곳은 전위가 위로 볼록한 봉우리라 ∇²V < 0, 음전하가 있는 곳은 아래로 오목한 골짜기라 ∇²V > 0 이다. 그림은 양전하 하나를 가운데 둔 처음 상태로, 붉은 띠 안에서 곡선이 솟아 있어요.
라플라시안(직교좌표)
∇2V = ∂2V∂x2 + ∂2V∂y2 + ∂2V∂z2
세 방향 2차 미분(휘어짐)의 합이다

푸아송 방정식 이끌어 내기

📐 이끌어 내는 순서
①E = −∇V 를 D = εE 에 넣으면 D = −ε∇V
②이것을 ∇·D = ρ_v 에 넣으면 ∇·(−ε∇V) = ρ_v
③ε 가 일정하면 −ε(∇·∇V) = ρ_v
④∇·∇ = ∇² 이므로 ∇²V = −ρ_v/ε 가 된다
푸아송 방정식
∇2V = -ρvε
전하밀도 ρv 가 주어지면 전위 V 를 구할 수 있는 미분방정식이다

그림으로 보는 뜻

0
2
🏔️ 전하가 전위를 솟게 하거나 꺼지게 한다
양전하를 두면 전위가 봉우리처럼 솟고, 음전하를 두면 골짜기처럼 꺼진다. 전하가 없는 곳의 곡선은 점전하가 만든 3차원 전위를 x 축 위에서 잘라 본 것이라 휘어 보이지만, x · y · z 세 방향의 휘어짐을 모두 더하면 0 이 되어 ∇²V = 0 이에요.

시험 포인트 정리

푸아송 방정식
∇2V = -ρvε
전하가 있는 공간에서 전위를 정하는 미분방정식이다
라플라스 방정식
∇2V = 0
전하가 없는 공간(ρv = 0)에서 쓰는, 푸아송 방정식의 특수한 경우다
구좌표 라플라시안
∇2V = 1r2∂∂r(r2∂V∂r) + ...
구 대칭이라 θ, φ 와 상관이 없으면 첫 항만 남는다
🎯 시험 포인트
①전하가 있으면 푸아송, 없으면 라플라스로, ρ_v 가 0 인지만 보면 갈려요
②E = −∇V 와 ∇·D = ρ_v 를 묶는 유도 과정을 서술할 수 있어야 한다
③직교좌표에서 ∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 이다
④라플라시안은 좌표계마다 꼴이 다르므로 구 · 원통 좌표의 꼴도 함께 나와요
⑤경계 조건과 푸아송(또는 라플라스) 방정식이 함께 주어지면 전위의 해는 하나로 정해진다(유일성 정리)
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 푸아송 방정식과 라플라스 방정식의 차이를 설명하시오. (답: 푸아송은 ρ_v ≠ 0, 라플라스는 ρ_v = 0 인 공간에서 쓴다)
②[기출유형] V = 5x² + 3y² 일 때 ∇²V 를 구하시오. (답: 10 + 6 = 16)
③[기출유형] 가우스 법칙의 미분형에서 푸아송 방정식을 이끌어 내시오. (답: ∇·(εE) = ρ_v 에 E = −∇V 를 넣으면 ∇²V = −ρ_v/ε)
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