라플라스 방정식

Laplace's Equation

라플라스 방정식은 전하가 없는 빈 공간에서 전위가 어떻게 분포하는지를 알려 주는 식이에요. 전하가 없는데도 전위가 정해지는 이유는 도체 표면의 전위 같은 경계조건이 그 사이 공간의 모양을 결정하기 때문이에요. 같은 방정식이라도 대칭성에 따라 답의 모양이 달라져서, 평행판 사이에서는 직선, 동축 케이블에서는 로그, 동심구에서는 1/r 꼴로 전위가 변해요. 슬라이더로 전압과 간격, 반지름 비율을 바꿔 가며 평행판과 동축에서 전위 곡선이 어떻게 그려지는지 확인해 봐요.

라플라스 방정식이란

라플라스 방정식

∇²V = 0

전하가 없는 공간에서 전위를 결정하는 방정식

💡 푸아송에서 ρᵥ = 0

푸아송 방정식 ∇²V = −ρᵥ/ε에서 전하가 없으면(ρᵥ = 0) 라플라스 방정식이 된다. 전하가 없는데 전위가 어떻게 결정되나? → 경계조건(도체 표면의 전위)이 결정한다.

🎯 실전에서의 역할

콘덴서 판 사이, 동축 케이블 사이, 동심구 사이: 이런 도체 사이의 빈 공간에서 전위를 구할 때 라플라스 방정식을 푼다. 시험에 매우 자주 출제된다.

평행판 콘덴서

전압 V₀100V

간격 d3

📐 평행판: ∂²V/∂x² = 0

x 방향으로만 전위가 변하므로 ∂²V/∂x² = 0. 2차 미분이 0이면 1차 함수 → V(x)=ax+b. 경계조건 V(0)=V₀, V(d)=0을 대입하면 V(x)=V₀(1−x/d). 직선이다!

평행판 전위

V(x) = V₀(1 − xd)

전계: E = V₀/d (균일전계)

평행판 정전용량

C = εSd

V → E → D → Q → C 순서로 유도

동축 케이블

내부 전위 Va100V

b/a 비율3

📐 동축: 원통좌표 라플라시안

원통좌표에서 ρ 방향만 변화. 풀면 V(ρ)=A·ln(ρ)+B. 경계조건 V(a)=Va, V(b)=0을 대입하면 V=Va·ln(b/ρ)/ln(b/a). 로그 함수!

동축 케이블 전위

V(ρ) = V_a · ln(b/ρ)ln(b/a)

전계: E = Va / (ρ·ln(b/a))

동축 정전용량

C = 2πεℓln(b/a)

단위 길이당: C/ℓ = 2πε/ln(b/a)

동심구

📐 동심구: 구좌표 라플라시안

구좌표에서 r 방향만 변화. 풀면 V(r)=A/r+B. 경계조건 V(a)=Va, V(b)=0을 대입하면 V=Va·a(b−r)/[r(b−a)]. 1/r 함수!

동심구 전위

V(r) = V_a · a(b−r)r(b−a)

전계: E ∝ 1/r²

동심구 정전용량

C = 4πε1a - 1b

b→∞이면 고립 도체구: C = 4πεa

좌표계별 해의 패턴

직교 (평행판): V = ax + b → 직선
원통 (동축): V = A·ln(ρ) + B → 로그
구 (동심구): V = A/r + B → 1/r

시험 포인트 정리

라플라스 방정식

∇²V = 0

전하 없는 공간에서 전위 결정

평행판

V=V₀(1−x/d)

직선

🔑 형상별 풀이 패턴

평행판은 직선, 동축은 ln, 동심구는 1/r: 대칭성이 풀이 형태를 결정

동축

V∝ln(b/ρ)

로그

동심구

V∝1/r

역수

🎯 시험 포인트

①라플라스=전하 없음, 푸아송=전하 있음

②좌표계별 일반해: 직교(ax+b), 원통(Alnρ+B), 구(A/r+B)

③경계조건 2개로 A,B 결정

④정전용량: V → E=−∇V → D=εE → Q=∮D·dS → C=Q/V

⑤유일성 정리: 경계조건이 주어지면 해가 유일하다

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 평행판 콘덴서(간격 d, 면적 S, 유전율 ε)의 정전용량을 라플라스 방정식으로 유도하시오. (답: C=εS/d)

②[기출유형] 내경 a=1cm, 외경 b=3cm 동축 케이블의 단위 길이당 정전용량을 구하시오. (답: C/ℓ=2πε₀/ln3)

③[기출유형] 라플라스 방정식의 유일성 정리란 무엇인지 설명하시오.