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전기기사 전기자기학 · 라플라스 방정식

Laplace's Equation

전하가 없는 빈 공간에서 전위가 어떻게 퍼져 있는지를 정하는 식이 라플라스 방정식이에요. 전하가 없는데도 전위가 정해지는 까닭은 도체 표면의 전위 같은 경계 조건이 그 사이 공간의 모양을 정하기 때문이에요. 방정식은 같아도 대칭에 따라 답의 꼴이 달라져, 평행판 사이에서는 직선, 동축 케이블에서는 로그, 동심구에서는 1/r 꼴로 전위가 바뀌어요. 평행판 그림에서는 전압과 간격을, 동축 그림에서는 안쪽 전위와 b/a 를 바꾸면 오른쪽 금색 전위 그래프가 따라서 다시 그려져요.

라플라스 방정식이란

라플라스 방정식
∇²V = 0
전하가 없는 공간에서 전위를 정하는 방정식이다
💡 푸아송 방정식에서 ρᵥ = 0 일 때
푸아송 방정식 ∇²V = −ρᵥ/ε 에서 전하가 없으면(ρᵥ = 0) 라플라스 방정식이 된다. 전하가 없는데 전위는 무엇이 정할까? 도체 표면의 전위 같은 경계 조건이 정한다.
🎯 실전에서 맡는 일
콘덴서 판 사이, 동축 케이블의 두 도체 사이, 동심구 사이처럼 도체로 둘러싸인 빈 공간의 전위를 구할 때 라플라스 방정식을 푼다. 정전용량 문제로 자주 나와요.

평행판 콘덴서

100V
3
📐 평행판: ∂²V/∂x² = 0
판 사이에서는 x 방향으로만 전위가 바뀌므로 ∂²V/∂x² = 0 이고, 2차 미분이 0 인 함수는 일차식 V(x) = ax + b 다. 경계 조건 V(0) = V₀, V(d) = 0 을 넣으면 V(x) = V₀(1 − x/d) 로, 그림의 점선 등전위선이 같은 간격으로 늘어서고 오른쪽 그래프가 곧은 직선이 돼요.
평행판 전위
V(x) = V0(1 − xd)
전계는 E = V₀/d 로 판 사이 어디서나 같다
평행판 정전용량
C = εSd
V → E → D → Q → C 순서로 이끌어 낸다

동축 케이블

100V
3
📐 동축: 원통좌표 라플라시안
원통좌표에서 ρ 방향으로만 바뀌는 해를 풀면 V(ρ) = A·ln ρ + B 다. 경계 조건 V(a) = Va, V(b) = 0 을 넣으면 V = Va·ln(b/ρ)/ln(b/a) 가 된다. 그래서 그래프는 안쪽 도체 근처에서 가파르게 떨어지다 바깥으로 갈수록 완만해지는 로그 곡선이에요.
동축 케이블 전위
V(ρ) = Va · ln(b/ρ)ln(b/a)
전계는 E = Va / (ρ·ln(b/a)) 다
동축 정전용량
C = 2πεℓln(b/a)
단위 길이당 C/ℓ = 2πε/ln(b/a) 다

동심구

📐 동심구: 구좌표 라플라시안
구좌표에서 r 방향으로만 바뀌는 해를 풀면 V(r) = A/r + B 다. 경계 조건 V(a) = Va, V(b) = 0 을 넣으면 V = Va·a(b − r)/[r(b − a)] 로, 1/r 꼴이다.
동심구 전위
V(r) = Va · a(b−r)r(b−a)
전계는 1/r² 에 비례한다
동심구 정전용량
C = 4πε1a - 1b
b → ∞ 이면 홀로 놓인 도체구의 C = 4πεa 가 된다
좌표계별 해의 꼴
직교(평행판): V = ax + b → 직선
원통(동축): V = A·ln(ρ) + B → 로그
구(동심구): V = A/r + B → 1/r

시험 포인트 정리

라플라스 방정식
∇²V = 0
전하가 없는 공간에서 전위를 정한다
평행판
V=V₀(1−x/d)
직선
🔑 모양별 풀이 꼴
평행판은 직선, 동축은 ln, 동심구는 1/r 이다. 대칭이 풀이의 꼴을 정해요
동축
V∝ln(b/ρ)
로그
동심구
V∝1/r
역수 꼴
🎯 시험 포인트
①전하가 없으면 라플라스, 있으면 푸아송이다
②좌표계별 일반해는 직교 ax + b, 원통 A·ln ρ + B, 구 A/r + B 다
③경계 조건 두 개로 상수 A, B 를 정한다
④정전용량은 V → E = −∇V → D = εE → Q = ∮D·dS → C = Q/V 순서로 구해요
⑤경계 조건이 주어지면 해는 하나뿐이다(유일성 정리)
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 간격 d, 면적 S, 유전율 ε 인 평행판 콘덴서의 정전용량을 라플라스 방정식으로 이끌어 내시오. (답: V = V₀(1 − x/d) → E = V₀/d → Q = εSV₀/d 이므로 C = εS/d)
②[기출유형] 안쪽 반지름 a = 1 cm, 바깥 반지름 b = 3 cm 인 동축 케이블의 단위 길이당 정전용량을 구하시오. (답: C/ℓ = 2πε₀/ln3 ≈ 50.6 pF/m)
③[기출유형] 라플라스 방정식의 유일성 정리를 설명하시오. (답: 경계에서 전위가 정해지면 그 안을 만족하는 라플라스 방정식의 해는 하나뿐이다)
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