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전기기사 회로이론 · 근궤적과 보상

Root Locus

근궤적은 이득 K 를 0 에서 무한대까지 바꿀 때 폐루프 극이 s 평면에 그리는 자취다. 극에서 출발해 영점이나 무한대로 가는 길을 실수축 · 점근선 · 이탈점 · 허수축 교차 규칙으로 그리고, 극의 자리에서 안정도와 감쇠를 읽는다. 제목의 보상은 영점을 더해 궤적을 왼쪽으로 끌어오는 원리까지만 이 단원에서 다뤄요. 세 가지 계 버튼으로 극 · 영점 배치를 고르고 K 슬라이더를 올리면, 흰 테두리 점으로 찍힌 폐루프 극이 궤적을 따라 움직여요.

근궤적: 이득을 바꾸면 극은 어디로 가나

🔍 근궤적
①특성 방정식 1 + KG(s)H(s) = 0 의 근, 곧 폐루프 극이 K 에 따라 s 평면에 그리는 자취다
②K = 0 이면 폐루프 극은 개루프 극과 같다(출발점)
③K → ∞ 이면 폐루프 극은 개루프 영점이나 무한대로 간다(도착점)

K 를 바꾸며 극의 움직임 보기

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🔑 그림에서 볼 것
①K 가 작을 때는 극이 실수축 위에 있어 과감쇠 응답이 나온다
②K 를 키우면 두 극이 이탈점에서 만나 실수축을 벗어나고, 응답이 진동하는 부족 감쇠가 된다
③3극 계는 점근선이 우반면으로 뻗어 K = 12 를 넘으면 극이 허수축을 지나 불안정해져요. 2극 계와 3극 + 1영점 계는 점근선이 σ = −1 에 서 있어 K 를 키워도 안정해요

근궤적 작도 규칙 여덟 가지

규칙 1 · 2: 시작과 끝
K = 0 에서 극, K = ∞ 에서 영점(또는 무한대)
궤적 가닥 수는 max(극 수, 영점 수)이고, 극에서 출발해 영점에 닿는다.
규칙 3: 실수축 위의 궤적
오른쪽에 있는 극과 영점의 개수 합이 홀수인 구간
실수축 위 한 점에서 오른쪽에 있는 실수 극과 실수 영점을 세어 합이 홀수이면 그 점은 근궤적 위에 있다.
📐 여기부터는 모양을 다듬는 규칙
①규칙 1 ~ 3 으로 궤적의 시작 · 끝 · 실수축 구간을 정하고
②규칙 4 ~ 8 로 점근선, 이탈점, 허수축 교차점 같은 구체적인 모양을 정한다
규칙 4: 점근선
σa = (Σ극 − Σ영점)/(n − m), θ = (2k + 1)π/(n − m)
n 은 극 수, m 은 영점 수다. n − m 개의 가지가 점근선을 따라 무한대로 간다.
규칙 5: 이탈점 · 진입점
dK/ds = 0 인 s 값
궤적이 실수축에서 갈라져 나가거나(이탈) 실수축으로 모여드는(진입) 점이에요.
⚡ 규칙을 쓰는 차례
시작 · 끝 → 실수축 구간 → 점근선 → 이탈점 → 허수축 교차 순서로 그리면 된다
규칙 6: 허수축 교차
라우스 배열의 보조 방정식 → 교차하는 K 값과 jω 값
궤적이 허수축을 지날 때의 K 가 안정 한계 이득이다. 라우스 배열의 한 행이 0 이 되는 조건으로 구해요.
규칙 7 · 8: 출발각 · 도착각, K → ∞
출발각 = 180° − Σ(다른 극에서 그은 각) + Σ(영점에서 그은 각)
복소 극에서 궤적이 떠나는 각을 구하는 식이다. K → ∞ 이면 궤적은 영점에 닿거나 점근선을 따라 무한대로 간다.

근궤적 쓰임새

💡 근궤적으로 할 수 있는 일
①안정한 K 범위를 정한다. 궤적이 허수축을 넘는 K 값이 임계 이득이다
②원점에서 극까지 그은 선이 음의 실수축과 이루는 각이 cos⁻¹ζ 라, 원하는 ζ 선과 궤적의 교점에서 K 를 고른다
③영점을 더하면 궤적이 왼쪽으로 끌려와 안정한 K 범위가 넓어진다
④임계 K 는 라우스로 정확히 구하고, 근궤적으로 모양을 확인하면 좋아요

총정리

📋 근궤적 핵심 공식
①출발 · 도착, 실수축 규칙, 점근선, 이탈점 네 가지로 근궤적의 얼개를 그린다
②시험에는 점근선 교차점과 이탈점 계산이 가장 많이 나와요
출발 · 도착
극 → 영점 (K↑)
가닥 수 = max(n, m)
실수축 규칙
오른쪽 극 + 영점 = 홀수
그 구간이 궤적
🔑 근궤적의 뼈대
출발 · 도착과 실수축 규칙이 기본이고, 점근선 · 이탈점은 그 위에 쌓는 규칙이다
점근선
σa, θ = (2k+1)π/(n−m)
n − m 개 가지
이탈점
dK/ds = 0
궤적이 갈라지거나 모이는 점
🎯 시험 포인트
①근궤적은 실수축에 대해 대칭이다. 복소 극은 늘 켤레 쌍으로 나타나기 때문이다
②점근선 교차점 σ_a = (극의 합 − 영점의 합)/(극 수 − 영점 수)
③허수축과 만나는 K 값은 라우스 배열의 보조 방정식으로 정확히 계산한다
④영점을 더하면 궤적이 좌반면 쪽으로 끌려와 안정 범위가 넓어진다
⑤이탈점 후보는 dK/ds = 0 의 근이다. 근궤적 위에 있는 점만 쓰고, 복소 평면에 생길 수도 있어요
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