근궤적은 게인 K를 바꿀 때 폐루프 극이 s평면에서 그리는 경로예요. 시작·끝·실수축·점근선·이탈점·허수축 교차 규칙을 순서대로 적용하면 작도할 수 있어요. 극 위치로 안정도·감쇠·응답 속도를 설계 감각으로 읽어요. 게인 K 슬라이더를 올려 극이 궤적을 따라 어떻게 이동하는지 확인해 봐요.
근궤적: 게인을 바꾸면 극이 어디로 이동하나?
🔍 근궤적이란?
①특성방정식 1 + KG(s)H(s) = 0의 근(폐루프 극)이 K 변화에 따라 s평면에서 그리는 궤적
②K = 0일 때: 폐루프 극 = 개루프 극 (출발점)
③K → ∞일 때: 폐루프 극 → 개루프 영점 또는 무한대 (도착점)
K를 조절해서 극의 이동을 관찰하자
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🔑 핵심 관찰
①K가 작을 때: 극이 실수축 위에 있다 (과감쇠)
②K를 키우면: 극이 이탈점에서 허수축 방향으로 분기 (부족감쇠 → 진동)
③K가 너무 크면: 극이 허수축을 넘어 우반면 진입 → 불안정!
근궤적 작도 8대 규칙
규칙 1~2: 시작과 끝
K=0에서 극, K=∞에서 영점 (또는 무한대)
궤적 가닥 수 = max(극 수, 영점 수). 극에서 출발해 영점으로 도착.
규칙 3: 실수축 위의 궤적
오른쪽에 극+영점 합계가 홀수인 구간
해당 점의 오른쪽을 셌을 때 극과 영점의 총 개수가 홀수이면 그 구간은 근궤적.
📐 여기서부터 스케치 도구
①규칙 1~3은 궤적의 시작·끝·방향을 정하고
②규칙 4~8은 궤적의 구체적인 형태(점근선, 이탈점, 교차점)를 결정한다
규칙 4: 점근선
σa = (Σ극 − Σ영점)/(n−m), θ = (2k+1)π/(n−m)
n: 극 수, m: 영점 수. n−m개의 가지가 점근선을 따라 무한대로 간다.
규칙 5: 이탈점/진입점
dK/ds = 0 인 s값
실수축에서 궤적이 분리(이탈)되거나 합류(진입)하는 점.
⚡ 규칙을 순서대로 적용
시작/끝 → 실수축 → 점근선 → 이탈점 → 허수축 교차 순서로 작도하면 된다
규칙 6: 허수축 교차
라우스 배열의 보조방정식 → 교차 K값과 jω값
궤적이 허수축을 지나는 K = 안정 한계이득. 라우스 배열 첫째열 0이 되는 조건으로 구한다.