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전기기사 회로이론 · 샘플값제어

Sampled-Data Control & z-Transform

샘플값 제어는 연속 신호를 일정한 주기 T 마다 표본으로 떠서, 디지털 제어기가 다루는 이산 신호로 바꿔 제어하는 방식이다. 샘플링 정리로 표본 주파수의 하한을 정하고, z 변환과 영차 홀드(ZOH)로 이산 전달함수를 세워 극이 단위원 안에 있는지로 안정도를 판별한다. 샘플링이 너무 느리면 높은 주파수 성분이 낮은 주파수처럼 나타나는 앨리어싱이 생겨요. 샘플링 주파수와 신호 주파수 슬라이더를 움직이면 표본 점과 ZOH 계단 파형이 원래 신호를 얼마나 잘 따라가는지가 바뀌어요.

디지털 제어: 연속 신호를 이산 신호로 바꾸는 까닭

🔍 왜 샘플링하는가
①마이크로프로세서는 연속 신호를 그대로 처리하지 못하고 숫자(이산값)만 다룬다
②일정한 주기 T 마다 신호 값을 떠서 숫자로 저장하는 일이 샘플링이다
③동영상이 초당 30장 안팎의 정지 화면으로 움직임을 나타내듯, 충분히 촘촘하게 뜨면 연속 신호의 모양을 잃지 않아요

샘플링 주파수 바꿔 보기

10 Hz
2 Hz
나이퀴스트 샘플링 정리
fs > 2 · fmax
2·fmax 는 샘플링 주파수의 하한이고, 나이퀴스트 주파수는 fs/2 다. 이 조건을 못 지키면 앨리어싱이 생긴다.
🔑 그림에서 볼 것
①f_s 가 충분하면 ZOH 로 복원한 계단 파형이 원래 신호를 가깝게 따라간다
②f_s 가 부족하면 앨리어싱이 생겨, 복원한 파형이 원래와 전혀 다른 주파수로 나타난다
③표본 점(주황 임펄스)이 촘촘할수록 잃는 정보가 적어요

z 변환: 이산 시스템의 라플라스 변환

z 변환의 정의
F(z) = Σ f(nT) · z⁻ⁿ (n = 0, 1, 2, ...)
z = e(sT) 로 두며, 라플라스 변환의 이산판이다. 차분 방정식을 대수 방정식으로 바꿔요.
자주 쓰는 z 변환 쌍
단위 계단: z/(z − 1), e⁻ᵃⁿᵀ: z/(z − e⁻ᵃᵀ)
ℤ{nT} = Tz/(z−1)², ℤ{sin nωT} = z·sin ωT/(z²−2z·cos ωT+1).
z 변환의 성질
시간 이동: ℤ{f(n−1)} = z⁻¹F(z)
z⁻¹ 은 「한 샘플 지연」 연산자로, s 영역의 e⁻ˢᵀ 에 해당한다.
⚡ s 평면 → z 평면 대응
①s 평면 좌반면(안정) → z 평면 단위원 안(|z| < 1)
②s 평면 허수축(임계) → z 평면 단위원 위(|z| = 1)
③s 평면 원점 → z 평면 z = 1

이산 시스템의 전달함수와 안정도

영차 홀드(ZOH)
GZOH(s) = 1 − e−sTs
샘플러 → 홀드 → 연속 플랜트 순서로 이어지며, Z{GZOH · Gp(s)} 로 이산 전달함수를 구한다.
이산 시스템의 안정 조건
폐루프 극 |zi| < 1(모든 i)
z 평면에서 모든 극이 단위원 안에 있으면 안정하다. 쥬리(Jury) 판별법으로 확인해요.
🔄 s 평면 ↔ z 평면 대응(z = e^(sT))
①s 좌반면(σ < 0) → z 단위원 안(|z| < 1) → 안정
②s 허수축(σ = 0) → z 단위원 위(|z| = 1) → 임계 안정
③s 우반면(σ > 0) → z 단위원 밖(|z| > 1) → 불안정
💡 쥬리 안정도 판별법
①z 평면에서 쓰는 라우스 판별법이라 할 수 있다. 특성 다항식의 계수로 배열을 만들어 판별한다
②필요 조건(aₙ > 0): P(1) > 0, (−1)ⁿP(−1) > 0, |a₀| < aₙ
③z 를 w = (z − 1)/(z + 1) 로 바꾸는 쌍일차 변환을 하면 단위원 안이 w 평면 좌반면이 되어, 라우스 판별법을 그대로 쓸 수 있어요

총정리

📋 이산 제어 핵심 공식
①z = e^(sT) 로 s 평면과 z 평면이 이어지고, 좌반면은 단위원 안으로 옮겨진다
②영차 홀드(ZOH)와 이산 안정 조건(|z| < 1)이 시험에 자주 나와요
나이퀴스트
fs > 2fmax
앨리어싱을 막는 조건
z 변환
F(z) = Σf(nT)z⁻ⁿ
z = e(sT)
🔗 아날로그 → 디지털
샘플링 정리에 맞춰 표본을 뜨고, z 변환으로 해석한 뒤, ZOH 로 복원한다
안정 조건
모든 극 |z| < 1
단위원 안
ZOH
(1−e⁻ˢᵀ)/s
영차 홀드 전달함수
🎯 시험 포인트
①z⁻¹ 은 한 샘플 지연이고, 차분 방정식을 z 변환할 때 가장 자주 쓰는 연산자다
②역 z 변환은 부분분수로 나눈 뒤 변환표에서 찾는다. 라플라스 역변환과 같은 방식이다
③s → z 대응: 좌반면 → 단위원 안, 허수축 → 단위원 위, 우반면 → 단위원 밖
④쥬리 판별법 필요 조건 세 가지 P(1) > 0, (−1)ⁿP(−1) > 0, |a₀| < aₙ 가운데 하나라도 어기면 안정하지 않다
⑤샘플링 주기 T 가 짧을수록(f_s 가 클수록) 연속 시스템에 가까워지지만, 계산할 양이 늘어나요
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