샘플드데이터 제어

Sampled-Data Control & z-Transform

샘플드데이터 제어는 연속 신호를 표본화해 이산 시스템으로 다루는 디지털 제어 입문이에요. 나이퀴스트 정리로 샘플링 하한을 잡고, z변환과 ZOH로 이산 전달함수·안정도를 해석해요. 샘플링이 너무 느리면 에일리어싱이 생겨요. 샘플링 주파수와 신호 주파수를 바꿔 복원 품질이 어떻게 달라지는지 살펴봐요.

디지털 제어: 연속을 이산으로 바꾸는 이유

🔍 왜 샘플링하는가?

①컴퓨터(마이크로프로세서)는 연속 신호를 직접 처리할 수 없다. 숫자(이산값)만 다룬다

②일정 주기 T마다 신호를 "찍어서" 숫자로 저장하는 것이 샘플링

③비유: 동영상은 초당 30장의 정지 사진(프레임) 충분히 빠르면 연속으로 보인다

샘플링 주파수를 바꿔보자

샘플링 주파수 f_s10 Hz

신호 기본 주파수2 Hz

나이퀴스트 샘플링 정리

f_s > 2 · f_max (= 나이퀴스트 주파수)

f_s: 샘플링 주파수, f_max: 신호의 최고 주파수. 이 조건을 못 지키면 앨리어싱(주파수 왜곡)이 발생한다.

🔑 핵심 관찰

①f_s가 충분하면: ZOH 복원 파형이 원래 신호에 가깝다 (계단 근사)

②f_s가 부족하면: 앨리어싱. 복원된 파형이 원래와 전혀 다른 주파수로 나타난다

③샘플 점(주황 임펄스)이 빽빽할수록 정보 손실이 적다

z변환: 이산 시스템의 라플라스

z변환 정의

F(z) = Σ f(nT) · z⁻ⁿ (n = 0, 1, 2, ...)

z = e⁽sT). 라플라스 변환의 이산 버전으로, 차분방정식을 대수방정식으로 바꾼다.

주요 z변환 쌍

단위계단: z/(z−1), e⁻ᵃᵀ: z/(z−e⁻ᵃᵀ)

ℤ{nT} = Tz/(z−1)², ℤ{sin nωT} = z·sin ωT/(z²−2z·cos ωT+1).

z변환의 성질

시간 이동: ℤ{f(n−1)} = z⁻¹F(z)

z⁻¹은 '1샘플 지연' 연산자. s영역의 e⁻ˢᵀ에 대응한다.

⚡ s평면 → z평면 매핑

①s평면 좌반면(안정) → z평면 단위원 내부(|z| < 1)

②s평면 허수축(한계) → z평면 단위원 위(|z| = 1)

③s평면 원점 → z평면 z = 1

이산 시스템의 전달함수와 안정도

영차 홀드 (ZOH)

G_ZOH(s) = 1 − e^−sTs

샘플 → 홀드 → 연속 플랜트 순서. Z{G_ZOH · G_p(s)}로 이산 전달함수를 구한다.

이산 안정 조건

폐루프 극 |z_i| < 1 (모든 i)

z평면에서 모든 극이 단위원 내부에 있으면 안정. 쥬리(Jury) 판별법으로 확인.

🔄 s평면 ↔ z평면 대응 (z = e^(sT))

①s 좌반면(σ<0) → z 단위원 내부(|z|<1) → 안정

②s 허수축(σ=0) → z 단위원 위(|z|=1) → 한계 안정

③s 우반면(σ>0) → z 단위원 외부(|z|>1) → 불안정

💡 쥬리 안정도 판별법

①라우스 판별법의 z평면 버전: 특성다항식 계수로 배열을 만들어 판별

②필요조건: P(1) > 0, (−1)ⁿP(−1) > 0, |a₀| < aₙ

③s평면에서 쌍일차 변환(w = (z−1)/(z+1))을 하면 라우스를 그대로 적용할 수도 있다

총정리

📋 이산제어 핵심 공식 요약

①z = e^(sT)로 s평면과 z평면이 연결된다. 좌반면 → 단위원 내부

②ZOH(영차홀드)와 이산 안정 조건(|z|<1)이 시험 핵심

나이퀴스트

f_s > 2f_max

앨리어싱 방지 조건

z변환

F(z) = Σf(nT)z⁻ⁿ

z = e⁽sT)

🔗 아날로그→디지털 변환

나이퀴스트 정리로 표본화하고, z변환으로 해석한 뒤, ZOH로 복원한다

안정 조건

모든 극 |z| < 1

단위원 내부

ZOH

(1−e⁻ˢᵀ)/s

영차 홀드 전달함수

🎯 시험 포인트

①z⁻¹ = 1샘플 지연: 차분방정식에서 z변환의 핵심 연산자

②z변환 역변환: 부분분수 전개 후 변환표로 역변환 (라플라스와 동일 패턴)

③s→z 매핑: 좌반면→단위원내, 허수축→단위원위, 우반면→단위원외

④쥬리 판별법 필요조건 3개: P(1)>0, (−1)ⁿP(−1)>0, |a₀|<aₙ → 하나라도 위반 시 불안정

⑤샘플링 주기 T가 작을수록(f_s↑) 연속 시스템에 가까워지지만 계산 부하↑: 트레이드오프