안정도 판별

Stability Analysis

안정도 판별은 출력이 유한하게 수렴하는지를 극을 직접 구하지 않고 판정하는 기법이에요. 라우스-후르비츠는 시간영역, 보드의 위상·이득 여유와 나이퀴스트는 주파수영역 도구예요. 게인과 시정수가 바뀌면 여유와 안정 경계가 움직여요. K와 τ 슬라이더로 판별 결과와 여유가 어떻게 변하는지 실험해 봐요.

안정이란? 출력이 유한하게 수렴하는 것

🔍 안정도의 3분류

①안정: 입력이 사라지면 출력도 0으로 수렴. 모든 극의 실수부 < 0

②한계 안정: 출력이 일정 진폭으로 진동. 극이 허수축 위에 있음

③불안정: 출력이 시간에 따라 발산. 하나라도 극의 실수부 > 0

라우스-후르비츠 판별법: 극을 구하지 않고 안정 판별

라우스 배열

특성다항식 aₙsⁿ + aₙ₋₁sⁿ⁻¹ + ... + a₀ = 0

계수로 라우스 배열을 만들고, 첫째 열의 부호 변화 횟수 = 우반면 극의 수.

필요조건

모든 계수 aᵢ > 0 (같은 부호)

계수가 하나라도 0이거나 부호가 다르면 → 즉시 불안정 판정 가능.

후르비츠 판별법

모든 주대각 소행렬식 Δ₁, Δ₂, ..., Δₙ > 0

후르비츠 행렬의 소행렬식으로 안정 판별. 라우스와 동치이나 행렬식 계산 방식. 시험에서 '후르비츠 조건'으로 출제.

⚡ 라우스 배열 작성법

①1행: aₙ, aₙ₋₂, aₙ₋₄, ... / 2행: aₙ₋₁, aₙ₋₃, aₙ₋₅, ...

②3행부터: 교차곱 → b₁ = (aₙ₋₁·aₙ₋₂ − aₙ·aₙ₋₃) / aₙ₋₁

③첫째 열 부호 변화 = 우반면 극 수 → 0이면 안정

💡 라우스 특수 경우

①첫째 열에 0이 나오면: ε(아주 작은 양수)로 대체 후 계속

②행 전체가 0이면: 바로 윗행으로 보조방정식 작성 → 미분하여 대체

③보조방정식의 근 = 허수축 위의 극 (한계 안정 가능성)

보드 선도와 안정 여유

게인 K10

시정수 τ0.5 s

위상 여유 (PM)

PM = 180° + ∠G(jω_gc)

ω_gc: 이득교차주파수(|G|=1=0dB인 점). PM > 0이면 안정. 보통 PM > 45° 요구.

이득 여유 (GM)

GM = −20 log|G(jω_pc)| [dB]

ω_pc: 위상교차주파수(∠G=−180°인 점). GM > 0이면 안정. 보통 GM > 6dB 요구.

나이퀴스트 판별법

나이퀴스트 안정 조건

Z = N + P → Z = 0이면 안정

Z: 폐루프 우반면 극 수, N: G(jω) 궤적이 (−1,j0)점을 시계방향 감싼 횟수, P: 개루프 우반면 극 수.

💡 안정 판별법 비교

①라우스: 특성방정식 계수만으로 판별 → 가장 빠르지만, 여유(margin) 정보 없음

②보드 선도: 주파수 응답 그래프 → 안정 여유(PM, GM)를 직접 읽을 수 있다

③나이퀴스트: 극좌표 궤적 → 가장 일반적, 개루프 불안정 시스템도 판별 가능

④근궤적: K 변화에 따른 극 이동 → 다음 페이지에서 자세히!

총정리

📋 안정도 판별 핵심 요약

①라우스(대수적), 보드(주파수 영역), 나이퀴스트(복소평면): 세 가지 판별법

②위상여유 PM ≥ 45°, 이득여유 GM ≥ 6dB가 실무 안정 기준

라우스

첫째열 부호변화 = 0

→ 안정

위상 여유

PM = 180° + ∠G(ω_gc)

> 45° 권장

🔑 시간영역 vs 주파수영역

라우스는 시간영역, 나이퀴스트·위상/이득 여유는 주파수영역 안정도 판별법이다

이득 여유

GM = −20log|G(ω_pc)|

> 6dB 권장

나이퀴스트

Z = N + P = 0

(−1,j0) 감싸지 않음

🎯 시험 포인트

①라우스 필요조건: 특성다항식 모든 계수 > 0, 누락 계수 있으면 즉시 불안정

②라우스 배열 첫째 열 부호변화 수 = 우반면 극 수: 0이면 안정

③후르비츠: 주대각 소행렬식 Δ₁,Δ₂,...,Δₙ 전부 > 0: 라우스와 동치

④PM과 GM 동시 만족: PM > 0 AND GM > 0 → 안정 (보통 PM>45°, GM>6dB 요구)

⑤나이퀴스트: P=0(개루프 안정)이면 궤적이 (−1,j0)을 감싸지 않으면 안정