전기기사 회로이론 · 안정도 판별

Stability Analysis

안정도 판별은 특성 방정식의 극을 직접 풀지 않고, 출력이 발산하지 않는지를 가려내는 방법이다. 라우스 · 후르비츠 판별법은 특성 방정식의 계수로 대수적으로 따지고, 보드 선도의 위상 · 이득 여유와 나이퀴스트 판별법은 주파수 응답으로 따진다. 여기서 그린 보드 선도는 G(s) = K/(s(τs + 1)) 이라 위상이 −180° 에 닿지 않아, 이득 여유는 무한대이고 위상 여유만 줄어들어요. 이득 K 와 시정수 τ 슬라이더를 움직이면 이득 교차 주파수 ω_gc 와 위상 여유 PM 이 바뀌어요.

안정이란 출력이 발산하지 않는 것

🔍 안정도의 세 갈래

①안정: 입력이 사라지면 출력도 0 으로 돌아간다. 모든 극의 실수부가 0 보다 작다

②임계 안정: 출력이 일정한 진폭으로 계속 진동한다. 중근이 아닌 극이 허수축 위에 있다

③불안정: 출력이 시간이 갈수록 커진다. 실수부가 0 보다 큰 극이 하나라도 있어요

라우스 · 후르비츠 판별법: 극을 풀지 않고 안정 판별

라우스 배열

특성 다항식 aₙsⁿ + aₙ₋₁sⁿ⁻¹ + ... + a₀ = 0

계수로 라우스 배열을 만들면, 첫째 열의 부호가 바뀌는 횟수가 우반면 극의 수와 같다.

필요 조건

모든 계수 aᵢ > 0 (같은 부호)

계수가 하나라도 빠지거나(0) 부호가 다르면, 배열을 만들 것도 없이 안정하지 않다고 판정해요.

후르비츠 판별법

주대각 소행렬식 Δ₁, Δ₂, ..., Δₙ 이 모두 > 0

후르비츠 행렬의 주대각 소행렬식으로 판별하며, 라우스 판별법과 결과가 같다. 시험에는 「후르비츠 조건」으로 자주 나와요.

⚡ 라우스 배열 만드는 법

①첫 행에는 aₙ, aₙ₋₂, aₙ₋₄, ..., 둘째 행에는 aₙ₋₁, aₙ₋₃, aₙ₋₅, ... 를 적는다

②셋째 행부터는 교차곱으로 구한다. 예를 들어 b₁ = (aₙ₋₁·aₙ₋₂ − aₙ·aₙ₋₃)/aₙ₋₁ 이다

③첫째 열의 부호 변화 횟수가 우반면 극의 수라, 0 이면 안정해요

💡 라우스 배열의 특수한 경우

①첫째 열에 0 이 나오면 아주 작은 양수 ε 로 바꿔 놓고 계속 계산한다

②한 행이 모두 0 이면 바로 윗행으로 보조 방정식을 세우고, 이를 미분한 계수로 그 행을 채운다

③보조 방정식의 근은 허수축 위의 극이라, 임계 안정일 수 있어요

보드 선도와 안정 여유

이득 K10

시정수 τ0.5 s

위상 여유(PM)

PM = 180° + ∠G(jω_gc)

ω_gc 는 이득 교차 주파수(|G| = 1, 곧 0 dB 인 점)다. PM > 0 이면 안정하고, 설계에서는 흔히 45° 안팎을 목표로 잡는다.

이득 여유(GM)

GM = −20 log|G(jω_pc)| [dB]

ω_pc 는 위상 교차 주파수(∠G = −180° 인 점)다. GM > 0 dB 이면 안정하고, 흔히 6 dB 이상을 목표로 잡는다. 위 그림처럼 위상이 −180° 에 닿지 않으면 GM 은 무한대예요.

나이퀴스트 판별법

나이퀴스트 안정 조건

Z = N + P → Z = 0 이면 안정

Z 는 폐루프 우반면 극의 수, N 은 G(jω) 궤적이 (−1, j0) 점을 시계 방향으로 감싼 횟수, P 는 개루프 우반면 극의 수다.

💡 판별법 견주기

①라우스: 특성 방정식의 계수만으로 판별해 가장 빠르지만, 여유가 얼마인지는 알 수 없다

②보드 선도: 주파수 응답 그래프에서 위상 여유와 이득 여유를 바로 읽는다

③나이퀴스트: 극좌표 궤적으로 판별하며, 개루프가 불안정한 계에도 쓸 수 있어 가장 일반적이다

④근궤적: K 를 바꿀 때 극이 움직이는 길을 그리며, 다음 쪽에서 다뤄요

총정리

📋 안정도 판별 핵심

①라우스(대수적), 보드(주파수 응답 그래프), 나이퀴스트(복소 평면의 궤적) 세 가지 판별법이 있다

②설계에서는 위상 여유 45° 안팎, 이득 여유 6 dB 이상을 흔히 목표로 잡아요

라우스

첫째 열 부호 변화 = 0

→ 안정

위상 여유

PM = 180° + ∠G(ω_gc)

45° 안팎 목표

🔑 대수적 판별과 주파수 영역 판별

라우스 · 후르비츠는 특성 방정식의 계수로 하는 대수적 판별이고, 나이퀴스트와 위상 · 이득 여유는 주파수 영역 판별이다

이득 여유

GM = −20log|G(ω_pc)|

6 dB 이상 목표

나이퀴스트

Z = N + P = 0

(−1, j0) 을 감싸지 않음

🎯 시험 포인트

①라우스 필요 조건: 특성 다항식의 계수가 모두 0 보다 크다. 빠진 계수가 있으면 바로 안정하지 않다고 본다

②라우스 배열 첫째 열의 부호 변화 횟수 = 우반면 극의 수이고, 0 이면 안정하다

③후르비츠: 주대각 소행렬식 Δ₁, Δ₂, ..., Δₙ 이 모두 0 보다 크면 안정하며, 라우스와 결과가 같다

④최소 위상계에서는 PM > 0 과 GM > 0 을 함께 만족해야 안정하다(설계 목표는 흔히 PM 45° 안팎, GM 6 dB 이상)

⑤나이퀴스트: P = 0(개루프 안정)이면 궤적이 (−1, j0) 을 감싸지 않을 때 안정해요

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정상오차와 주파수응답

근궤적과 보상

마지막 수정 2026-10-20

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