정상상태 오차는 과도응답이 끝난 뒤에도 남는 목표와 출력의 차이예요. 계단·램프·포물선 입력에 대해 위치·속도·가속도 오차 상수와 시스템 Type이 오차를 결정해요. Type이 올라갈수록 같은 입력에 대한 정상오차가 줄어드는 패턴이 핵심이에요. 게인 Kp를 바꿔 입력 유형별 정상편차가 어떻게 줄는지 확인해 봐요.
시간이 지나도 남는 오차, 정상편차
🔍 정상편차란?
①과도응답이 사라진 후에도 입력과 출력 사이에 남는 "영구적 차이"
②비유: 히터를 25°C로 설정했는데, 항상 23°C에 머무는 것. 그 2°C가 정상편차
③정상편차 = 0이면 입력을 완벽히 추종, > 0이면 추종 오차가 존재
입력 유형에 따른 정상편차
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🔑 핵심 관찰
①Kp가 커질수록 정상편차가 줄어든다. 하지만 0이 되려면 Kp → ∞ 필요
②계단 입력: e_ss = 1/(1+Kp) → Kp가 크면 거의 0에 가까워진다
③램프/포물선은 시스템 Type에 따라 추종 가능 여부가 결정된다
오차 상수와 시스템 Type
정상편차 일반 공식
ess = lim(s→0) sR(s)1 + G(s)H(s)
최종값 정리 적용. R(s): 입력의 라플라스 변환. 안정한 시스템에서만 유효.
오차 상수 3종
Kp = lim G(s), Kv = lim sG(s), Ka = lim s²G(s)
s→0. Kp: 위치오차상수, Kv: 속도오차상수, Ka: 가속도오차상수.
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⚡ Type 번호의 의미
①Type N = 개루프 전달함수 G(s)에 포함된 적분기(1/s)의 개수
②Type 0: 적분기 없음 → 계단만 유한 오차로 추종
③Type 1: 적분기 1개 → 계단은 완벽 추종(e_ss=0), 램프는 유한 오차
정상편차 개선 방법
적분 제어 추가
Gc(s) = K(1 + 1/(Tis)) → Type 증가
PI 또는 PID 제어기의 I(적분) 동작을 추가하면 시스템 Type이 올라가 정상편차가 줄어든다.
💡 설계 트레이드오프
①게인 K를 높이면: 정상편차↓ but 안정 여유↓ (불안정 위험)
②적분기 추가하면: Type↑ 정상편차↓ but 위상지연 → 안정도 악화 가능
③결론: 정상편차와 안정도는 트레이드오프. 둘 다 만족시키는 것이 제어 설계의 핵심
총정리
📋 정상편차 핵심 공식 요약
①계단·램프·포물선 입력에 대한 정상편차 = 1/(1+K)로 구조가 동일
②Type 번호(개루프 적분기 수)가 올라갈수록 더 높은 차수의 입력까지 추종
계단 입력
ess = 11 + Kp
Type 0: 유한, Type≥1: 0
램프 입력
ess = 1Kv
Type 0: ∞, Type 1: 유한
⚡ 입력 유형별 오차 패턴
계단→위치오차, 램프→속도오차, 포물선→가속도오차: Type 번호가 올라갈수록 오차 줄어든다
포물선 입력
ess = 1Ka
Type≤1: ∞, Type 2: 유한
Type 번호
N = G(s)의 1/s 개수
적분기 수 = Type
🎯 시험 포인트
①Type N 시스템: N차 이하 입력은 e_ss = 0, N+1차 입력은 유한, N+2차 이상은 ∞
②오차 상수: Kp = lim G, Kv = lim sG, Ka = lim s²G (s→0) 극한값 계산이 핵심