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전기기사 회로이론 · 정상오차와 주파수응답

Steady-State Error

정상 편차는 과도 응답이 끝난 뒤에도 목표값과 출력 사이에 남는 차이다. 계단 · 램프 · 포물선 입력마다 위치 · 속도 · 가속도 오차 상수가 있고, 개루프 전달함수의 형(Type)에 따라 편차가 0 · 유한 · 무한으로 갈린다. 제목의 주파수 응답(보드 선도 · 이득 여유 · 위상 여유)은 다음 쪽 안정도 판별법에서 다뤄요. 입력 버튼으로 계단 · 램프 · 포물선을 고르고 이득 Kp 슬라이더를 움직이면 그림의 정상 편차 e_ss 가 바뀌어요.

시간이 지나도 남는 오차, 정상 편차

🔍 정상 편차
①과도 응답이 사라진 뒤에도 입력과 출력 사이에 계속 남는 차이다
②비례 제어만 하는 히터를 25 °C 에 맞췄는데 실내가 23 °C 에서 멈춘다면, 그 2 °C 가 정상 편차다
③정상 편차가 0 이면 입력을 그대로 따라가고, 0 보다 크면 따라가되 그만큼 뒤처져요

입력 유형에 따른 정상 편차

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🔑 그림에서 볼 것
①Kp 가 커질수록 정상 편차가 줄지만, 0 이 되려면 Kp 가 무한히 커야 한다
②계단 입력에서는 e_ss = 1/(1+Kp) 라 Kp 가 크면 0 에 가까워진다
③램프 · 포물선 입력을 따라갈 수 있는지는 시스템 형(Type)이 정해요

오차 상수와 시스템 형

정상 편차의 일반 공식
ess = lim(s→0) sR(s)1 + G(s)H(s)
최종값 정리를 쓴 식이고, R(s) 는 입력의 라플라스 변환이다. 폐루프가 안정할 때만 쓸 수 있어요.
오차 상수 세 가지
Kp = lim G(s), Kv = lim sG(s), Ka = lim s²G(s)
극한은 모두 s → 0 이다. Kp 는 위치 오차 상수, Kv 는 속도 오차 상수, Ka 는 가속도 오차 상수다.
⚡ 형(Type) 번호가 뜻하는 것
①Type N 은 개루프 전달함수 G(s) 에 들어 있는 적분기(1/s)의 개수다
②Type 0 은 적분기가 없어, 계단 입력만 유한한 편차를 두고 따라간다
③Type 1 은 적분기가 하나라 계단은 편차 없이(e_ss = 0), 램프는 유한한 편차로 따라가요

정상 편차를 줄이는 방법

적분 동작 더하기
Gc(s) = K(1 + 1/(Ti s)) → Type 증가
PI · PID 제어기의 I(적분) 동작을 더하면 시스템 형이 하나 올라가 정상 편차가 줄어든다.
💡 설계에서 맞바꾸는 것
①이득 K 를 높이면 정상 편차는 줄지만 안정 여유도 줄어 불안정해질 수 있다
②적분기를 더하면 Type 이 올라 편차가 줄지만, 위상이 늦어져 안정도가 나빠질 수 있다
③정상 편차와 안정도는 서로 맞바꾸는 관계라, 둘을 함께 만족시키는 것이 제어 설계의 핵심이에요

총정리

📋 정상 편차 핵심 공식
①정상 편차는 계단 입력에서 1/(1+Kp), 램프에서 1/Kv, 포물선에서 1/Ka 다
②Type 번호(개루프 적분기 수)가 클수록 더 높은 차수의 입력까지 따라가요
계단 입력
ess = 11 + Kp
Type 0 은 유한, Type ≥ 1 은 0
램프 입력
ess = 1Kv
Type 0 은 ∞, Type 1 은 유한, Type 2 이상은 0
⚡ 입력 유형별 오차
계단은 위치 오차, 램프는 속도 오차, 포물선은 가속도 오차로 보고, Type 번호가 클수록 편차가 줄어든다
포물선 입력
ess = 1Ka
Type ≤ 1 은 ∞, Type 2 는 유한
Type 번호
N = G(s) 의 1/s 개수
적분기 수 = Type
🎯 시험 포인트
①입력 tᵏ(계단 k = 0, 램프 1, 포물선 2)에 대해 Type N 계는 k < N 이면 e_ss = 0, k = N 이면 유한, k > N 이면 ∞ 다
②오차 상수 Kp = lim G, Kv = lim sG, Ka = lim s²G(s → 0)의 극한 계산이 핵심이다
③위 공식은 단위 피드백(H = 1) 기준이고, H ≠ 1 이면 일반 공식으로 구해야 한다
④최종값 정리를 쓰려면 폐루프가 안정해야 하고, 불안정하면 e_ss 를 따지는 뜻이 없어요
⑤이득 K 를 두 배로 하면 Kp 도 두 배가 되어 계단 편차가 줄지만, 안정 여유를 함께 확인해야 해요
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안정도판별법

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