상태 공간 해석은 계의 현재 상태를 상태 변수 벡터 x 로 두고, 그 변화를 1차 연립 미분 방정식 ẋ = Ax + Bu 로 적는 방법이다. 상태 방정식과 출력 방정식에서 전달함수를 얻고, 행렬 A 의 고유값으로 안정도를 판별한다. 입력과 출력이 여럿인 계나 차수가 높은 계를 다룰 때 특히 쓸모가 커요. 두 고유값 슬라이더를 움직이면 위상 평면의 궤적이 원점으로 모이는지 흩어지는지가 바뀌어요.
상태 변수: 계의 현재를 담는 최소한의 값
🔍 왜 상태 공간인가
①전달함수는 입력과 출력의 관계만 담고 있어, 계 안에서 무슨 일이 일어나는지는 알 수 없다
②상태 변수는 지금 상태를 완전히 나타내는 데 필요한 최소한의 변수 묶음이다
③자동차의 위치와 속도를 알면 앞으로의 운동을 정할 수 있듯, 상태 = {위치, 속도} 로 잡으면 미래 응답이 정해져요
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⚡ 상태 변수 고르는 법
①RLC 회로에서는 커패시터 전압 v_C 와 인덕터 전류 i_L 을 상태 변수로 잡는다
②n 차 미분 방정식이면 상태 변수가 n 개 필요하다
③상태 변수를 고르는 방법은 하나가 아니어서, 다르게 골라도 같은 계를 나타낼 수 있어요
상태 방정식: 행렬로 적는 계
상태 방정식
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
x 는 상태 벡터(n×1), A 는 시스템 행렬(n×n), B 는 입력 행렬(n×m), u 는 입력 벡터(m×1)다.
출력 방정식
y(t) = Cx(t) + Du(t)
C 는 출력 행렬(p×n), D 는 직접 전달 행렬(p×m)이고, 대개 D = 0 이에요.
전달함수와의 관계
G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D
상태 공간 표현을 전달함수로 바꾸는 식이다. det(sI − A) = 0 이 특성 방정식이다.
🔑 핵심은 행렬 A
①A 의 고유값이 곧 계의 극이고, 특성 방정식의 근이다
②모든 고유값의 실수부가 0 보다 작으면(좌반면) 안정하다
③A 의 크기(n × n)의 n 이 계의 차수이자 상태 변수의 수예요
위상 평면에 그린 상태 궤적
-1.5
-0.5
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🔑 고유값과 궤적의 꼴
①두 고유값이 모두 음수면 안정 노드로, 모든 궤적이 원점으로 모인다
②두 고유값이 모두 양수면 불안정 노드로, 모든 궤적이 원점에서 멀어진다
③부호가 서로 다르면 안장점이다. 한 방향으로는 모이고 다른 방향으로는 흩어져 불안정해요
상태 천이 행렬과 계의 응답
상태 천이 행렬
Φ(t) = eAt = ℒ⁻¹{(sI − A)⁻¹}
입력이 없을 때의 자유 응답은 x(t) = Φ(t)x(0) 이다. Φ(0) = I, Φ(t₁+t₂) = Φ(t₁)Φ(t₂) 가 성립한다.
완전 응답
x(t) = eAtx(0) + ∫₀ᵗ eA(t−τ)Bu(τ)dτ
첫째 항은 초기 조건이 만드는 자유 응답, 둘째 항은 입력이 만드는 강제 응답(합성곱 적분)이에요.
💡 가제어성과 가관측성
①가제어성: 입력을 골라 어떤 초기 상태에서든 원하는 상태로 옮길 수 있는가
②rank[B, AB, A²B, …, Aⁿ⁻¹B] = n 이면 완전 가제어다
③가관측성: 출력만 재어 초기 상태를 완전히 알아낼 수 있는가
④rank[C; CA; CA²; …; CAⁿ⁻¹] = n 이면 완전 가관측이에요
총정리
📋 상태 공간 핵심 공식
①상태 방정식 ẋ = Ax + Bu, 출력 방정식 y = Cx + Du 이고, 행렬 A 의 고유값이 극이다
②상태 천이 행렬 Φ(t) = e^(At) 로 시간 응답을 구하고, G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D 로 전달함수를 얻는다
상태 방정식
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du
전달함수로 바꾸기
G = C(sI−A)⁻¹B + D
det(sI − A) = 0 이 특성 방정식
🔗 상태 공간 → 전달함수 → 안정도
상태 방정식에서 전달함수를 구하고, 고유값으로 안정도를 판별하는 흐름이에요
상태 천이 행렬
Φ(t) = eAt
x(t) = Φ(t)x(0) + ...
안정 조건
모든 λ의 Re < 0
A 의 고유값 = 극
🎯 시험 포인트
①상태 변수의 수 = 계의 차수 = A 행렬의 크기 = 서로 독립인 에너지 저장 소자의 수
②G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D 에서 (sI − A)⁻¹ = adj(sI − A)/det(sI − A) 이므로 분모가 특성 다항식이다