速度与加速度

Velocity & Acceleration

在位置-时间图上，某一瞬间切线的斜率就正好是那一刻的速度。所以把位置对时间求一次导得到速度，再求一次导就得到加速度。斜率变为 0 的瞬间物体会短暂停下并可能反向，但只有当速度的符号真正改变时才算真正的变向。拖动时刻 t 滑块，观察切线斜率和点的颜色如何变化，并留意速度何时变为零。

位置求导即得速度

时刻 t2

👀 用眼睛看

①曲线是随时间变化的位置 x(t)

②某瞬间切线斜率即该瞬间速度 v

③斜率为 0 则速度为 0 — 瞬间停下并改变方向

位置·速度·加速度的关系

速度 = 位置的导数

v(t) = dxdt = x′(t)

将位置 x(t) 对时间求导得速度 v(t)

加速度 = 速度的导数

a(t) = dvdt = x′′(t)

将速度再求一次导得加速度 — 位置的二阶导数

速度为 0 即变向

运动方向的改变

v(t)=0 且 t 两侧 v 变号 ⇒ 该时刻方向改变

仅 v=0 不够 — 符号须真正改变

🔄 v 的符号即方向

①v>0 沿正方向，v<0 沿负方向运动

②v=0 的瞬间运动方向改变(符号变化时)

③速率是速度的绝对值 |v|

直接求一求

例题 1

点 P 的位置为 x(t)=t³−6t²+9t，求 t=2 时的速度与加速度。

为速度与加速度求一阶、二阶导数。

v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12

代入 t=2。

v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0

▸ 速度 −3, 加速度 0

速度为负，意味着此刻正沿负方向运动。

例题 2

求同一点 P 改变运动方向的所有时刻。(t>0)

解 v(t)=0。

v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3

t=1, t=3 两侧 v 均变号。

▸ t = 1, t = 3

每个 v=0 的时刻都要确认变号，才是真正的变向。

总结

核心关系

位置 x(t) → 求导 → 速度 v(t) → 求导 → 加速度 a(t)

求一次导得速度，求两次导得加速度

2020 修能数学(微积分)类题改编

数轴上运动的点 P 的位置为 x(t)=t³−3t²，P 改变运动方向的时刻为?(t>0)

①t = 0

②t = 1

③t = 2

④t = 3

⑤不改变方向

▸ ③ t = 2

求速度。

v(t)=3t²−6t=3t(t−2)

t>0 时 v 的符号以 t=2 为界由负变正。

t = 2 时改变方向

🎯 考试要点

①v=x′, a=v′=x″(求一次、两次导)

②v>0 正方向·v<0 负方向

③变向须 v=0 且变号

④速率为 |v|

⑤t=0 为出发时刻，通常不计入变向