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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 速度与加速度

把在数轴上运动的点的位置写成时间的函数 x(t)，那么位置-时间图像上某一时刻的切线斜率，就是这一时刻的速度。 位置对时间求一次导数得到速度，速度再求一次导数得到加速度。 速度为 0 的瞬间点会停下来，但只有前后速度的符号改变，才真正改变方向。 拖动时刻 t，可以同时看到切线的斜率，以及右边数轴上的点 P 朝哪个方向运动。

位置求导得到速度

2
👀 从图中读出什么
①蓝色曲线是位置随时间的变化 x(t)，右边数轴上的点 P 才是真正运动的点
②切线的斜率就是这一时刻的速度 v。绿点表示 v > 0，P 向上（正方向）运动；橙点表示 v < 0，P 向下运动
③t = 1 和 t = 3 时 v = 0，前后 v 的符号改变，P 掉转方向。t = 1 时位置为 4，t = 3 时位置为 0

位置、速度与加速度的关系

速度是位置的导数
v(t) = dxdt = x′(t)
位置 x(t) 对时间求导，得到速度 v(t)
加速度是速度的导数
a(t) = dvdt = x′′(t)
速度再求一次导数得到加速度，相当于位置求两次导数

速度变号，方向就改变

运动方向改变的条件
v(t) = 0 且前后 v 变号 ⇒ 该时刻方向改变
只有 v = 0 还不够，符号真正改变，方向才会改变
🔄 v 的符号就是方向
①v > 0 时向正方向运动，v < 0 时向负方向运动
②v = 0 的瞬间如果前后符号改变，运动方向就在这一瞬间改变
③速率是速度的绝对值 |v|；加速度 a = 0 的瞬间，速度可能取得极值

例题

例题 1
点 P 的位置为 x(t) = t³ − 6t² + 9t，求 t = 2 时的速度和加速度。
1
对位置求一阶、二阶导数，得到速度和加速度。
v(t) = 3t² − 12t + 9, a(t) = 6t − 12
2
代入 t = 2。
v(2) = 12 − 24 + 9 = −3, a(2) = 12 − 12 = 0
▸ 速度 −3，加速度 0
速度为负，说明 P 正向负方向运动。在图中把 t 调到 2，可以看到同样的数值。
例题 2
求同一个点 P 改变运动方向的所有时刻（t > 0）。
1
解 v(t) = 0。
v(t) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 ⇒ t = 1, t = 3
2
在 t = 1 和 t = 3 前后，v 都变号。
▸ t = 1, t = 3
对每个 v = 0 的时刻都要检查是否变号，才能说方向改变了。

小结

核心关系
位置 x(t) → 求导 → 速度 v(t) → 求导 → 加速度 a(t)
求一次导数得速度，求两次导数得加速度
2020 韩国高考数学（微积分）类题改编
在数轴上运动的点 P 在时刻 t 的位置为 x(t) = t³ − 3t²，P 改变运动方向的时刻是？（t > 0）
①t = 0
②t = 1
③t = 2
④t = 3
⑤不改变方向
▸ ③ t = 2
1
求速度。
v(t) = 3t² − 6t = 3t(t − 2)
2
t > 0 时，v 的符号在 t = 2 前后由负变正。
t = 2 时方向改变
🎯 考试要点
①v = x′，a = v′ = x″
②v > 0 向正方向，v < 0 向负方向运动
③方向改变需要 v = 0 且变号
④速率是 |v|
⑤t = 0 是出发时刻，通常不算方向改变
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