seegongsik
高中三年级 (17-18岁)

速度与加速度

Velocity & Acceleration

位置求导即得速度
2
👀 用眼睛看
①曲线是随时间变化的位置 x(t)
②某瞬间切线斜率即该瞬间速度 v
③斜率为 0 则速度为 0 — 瞬间停下并改变方向
位置·速度·加速度的关系
速度 = 位置的导数
v(t) = dxdt = x′(t)
将位置 x(t) 对时间求导得速度 v(t)
加速度 = 速度的导数
a(t) = dvdt = x′′(t)
将速度再求一次导得加速度 — 位置的二阶导数
速度为 0 即变向
运动方向的改变
v(t)=0 且 t 两侧 v 变号 ⇒ 该时刻方向改变
仅 v=0 不够 — 符号须真正改变
🔄 v 的符号即方向
①v>0 沿正方向，v<0 沿负方向运动
②v=0 的瞬间运动方向改变(符号变化时)
③速率是速度的绝对值 |v|
直接求一求
例题 1
点 P 的位置为 x(t)=t³−6t²+9t，求 t=2 时的速度与加速度。
1
为速度与加速度求一阶、二阶导数。
v(t)=3t²−12t+9, a(t)=6t−12
2
代入 t=2。
v(2)=12−24+9=−3, a(2)=12−12=0
▸ 速度 −3, 加速度 0
速度为负，意味着此刻正沿负方向运动。
例题 2
求同一点 P 改变运动方向的所有时刻。(t>0)
1
解 v(t)=0。
v(t)=3(t−1)(t−3)=0 ⇒ t=1, t=3
2
t=1, t=3 两侧 v 均变号。
▸ t = 1, t = 3
每个 v=0 的时刻都要确认变号，才是真正的变向。
总结
核心关系
位置 x(t) → 求导 → 速度 v(t) → 求导 → 加速度 a(t)
求一次导得速度，求两次导得加速度
2020 修能数学(微积分)类题改编
数轴上运动的点 P 的位置为 x(t)=t³−3t²，P 改变运动方向的时刻为?(t>0)
①t = 0
②t = 1
③t = 2
④t = 3
⑤不改变方向
▸ ③ t = 2
1
求速度。
v(t)=3t²−6t=3t(t−2)
2
t>0 时 v 的符号以 t=2 为界由负变正。
t = 2 时改变方向
🎯 考试要点
①v=x′, a=v′=x″(求一次、两次导)
②v>0 正方向·v<0 负方向
③变向须 v=0 且变号
④速率为 |v|
⑤t=0 为出发时刻，通常不计入变向
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