微积分›各种积分法

各种积分法

Integration Methods

换元积分直观
2
🔄 换个世界
①左（x 世界）：2x·cos(x²) — 复杂
②令 u = x² → 右（u 世界）：cos(u) — 简单!
③积分后再换回 x：sin(x²) + C
换元积分公式
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))
若令内函数 g(x) = u 则 g'(x)dx = du
分部积分直观
1.5
分部积分公式
∫ u dv = uv − ∫ v du
易求导者作 u，易积分者作 dv
🧩 LIATE 法则
①u 的优先级：Log → 反三角 → 代数 → 三角 → 指数
②例：∫xeˣdx → u=x（代数），dv=eˣdx
③结果：xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C
换元积分主要类型
三角代换
√(a²−x²) → x = a sin θ, √(x²−a²) → x = a sec θ
依据根号形式选择三角代换
部分分式分解
1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b
把有理函数分解为部分分式逐项积分
💡 策略
①复合函数 → 换元
②函数相乘 → 分部积分
③带根号 → 三角代换
④有理函数 → 部分分式
常用积分公式
指数·对数积分
∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C
eˣ 积分还是 eˣ；1/x 积分得 ln|x|
三角函数积分
∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C
sin 积分注意负号!
sec²、csc²
∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C
为求导的逆
总结
积分法选用指南
复合 → 换元、乘积 → 分部、根号 → 三角代换、分数 → 部分分式
按被积函数形式选用四大法则
🎯 考试要点
①换元：选哪一项作 u 是关键（内函数为 u）
②分部：按 LIATE 选 u
③三角代换：√(a²−x²)→sinθ、√(x²+a²)→tanθ、√(x²−a²)→secθ
④部分分式：分母分解后用待定系数
⑤必验算：把结果求导应得回原函数