各种积分法

Integration Methods

积分之所以让人觉得难，是因为被积函数形态各异，所以诀窍是按形状挑选合适的工具。换元积分把复杂的 x 世界改写成更简单的新变量 u 世界来计算，分部积分则把难的积分换成更容易的积分。带根号就提示三角代换，分数形式就提示部分分式，形状本身会告诉你策略。拖动上限滑块，观察 x 世界如何变成 u 世界，以及 xeˣ 下方的面积如何累积。

换元积分直观

积分上限2

🔄 换个世界

①左（x 世界）：2x·cos(x²) — 复杂

②令 u = x² → 右（u 世界）：cos(u) — 简单!

③积分后再换回 x：sin(x²) + C

换元积分公式

∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))

若令内函数 g(x) = u 则 g'(x)dx = du

分部积分直观

积分上限1.5

分部积分公式

∫ u dv = uv − ∫ v du

易求导者作 u，易积分者作 dv

🧩 LIATE 法则

①u 的优先级：Log → 反三角 → 代数 → 三角 → 指数

②例：∫xeˣdx → u=x（代数），dv=eˣdx

③结果：xeˣ − ∫eˣdx = xeˣ − eˣ + C

换元积分主要类型

三角代换

√(a²−x²) → x = a sin θ, √(x²−a²) → x = a sec θ

依据根号形式选择三角代换

部分分式分解

1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b

把有理函数分解为部分分式逐项积分

💡 策略

①复合函数 → 换元

②函数相乘 → 分部积分

③带根号 → 三角代换

④有理函数 → 部分分式

常用积分公式

指数·对数积分

∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C

eˣ 积分还是 eˣ；1/x 积分得 ln|x|

三角函数积分

∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C

sin 积分注意负号!

sec²、csc²

∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C

为求导的逆

例题演练

例题 1

求不定积分 ∫ 2x cos(x²) dx。

将内层函数 x² 换元为 u，则 du = 2x dx。

u = x², du = 2x dx

在 u 世界中积分后再换回 x。

∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

▸ sin(x²) + C

换元积分的关键是令 u 为内层函数。式中出现 du = g′(x)dx 即换元信号。

例题 2

求不定积分 ∫ x e^x dx。

按 LIATE 取 u = x（代数），dv = e^x dx，则 du = dx, v = e^x。

u = x, dv = e^x dx ⇒ du = dx, v = e^x

应用分部积分 ∫u dv = uv − ∫v du。

x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

▸ (x − 1)e^x + C

分部积分中，u 选求导后变简单的那个（LIATE 顺序）。多项式通常作 u。

总结

积分法选用指南

复合 → 换元、乘积 → 分部、根号 → 三角代换、分数 → 部分分式

按被积函数形式选用四大法则

高考类型变式

定积分 ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx 的值是？

①154

②4

③174

④152

⑤8

▸ ① 154

换元 u = x²+1，并同时改变积分上下限（x: 0→1 ⇒ u: 1→2）。

u = x²+1, x: 0→1 ⇒ u: 1→2

计算关于 u 的定积分。

∫₁² u³ du = 2⁴ − 1⁴4 = 154

🎯 考试要点

①换元：选哪一项作 u 是关键（内函数为 u）

②分部：按 LIATE 选 u

③三角代换：√(a²−x²)→sinθ、√(x²+a²)→tanθ、√(x²−a²)→secθ

④部分分式：分母分解后用待定系数

⑤必验算：把结果求导应得回原函数