高中三年级 (17-18岁)

高中数学各种积分法

积分之所以难，是因为被积函数的形状各不相同，所以要按形状选方法。换元积分把内层函数换成 u，转化成更简单的积分；分部积分把乘积求导法则倒过来用，把难的积分换成容易的积分。有根号就想到三角换元，是分式就想到部分分式，看形状来决定方法。在第一幅图中拖动上限 t，x 一侧的面积和 u 一侧的面积始终等于同一个值 sin(t²)；在第二幅图中，xeˣ 下方的面积与分部积分求出的值一致。

换元积分

上限 t2

🔄 从对 x 积分到对 u 积分

①2x cos(x²) 中，cos 里面是 x²，而 x² 的导数 2x 正好乘在前面

②令 u = x²，则 du = 2x dx，于是 2x cos(x²) dx 整体变成 cos u du

③积分区间也随之改变：x 从 0 到 t 时，u 从 0 到 t²。这就是图中两块面积总等于 sin(t²) 的原因

④所以不定积分是 sin u + C = sin(x²) + C

换元积分法

∫ f(g(x)) · g′(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))

令内层函数 u = g(x)，则 g′(x) dx = du。若是定积分，积分上下限也要换成 u 的值

分部积分

上限 t1.5

分部积分法

∫ u dv = uv − ∫ v du

把乘积求导法则（uv）′ = u′v + uv′ 两边积分后整理得到。求导后变简单的一方取作 u，容易积分的一方取作 dv

🧩 怎样选 u

①通常按对数函数、多项式、三角函数、指数函数的顺序，排在前面的取作 u

②∫xeˣ dx 中，把多项式 x 取作 u，eˣ dx 取作 dv，于是 du = dx，v = eˣ

③∫xeˣ dx = xeˣ − ∫eˣ dx = xeˣ − eˣ + C，从 0 到 t 积分得 (t − 1)eᵗ + 1。图下方的数值就是用这个式子算出来的

按形状选方法

三角换元

√(a² − x²) → x = a sin θ，√(x² − a²) → x = a sec θ，√(x² + a²) → x = a tan θ

看根号里的形状来选择换元。1 − sin²θ = cos²θ 这类能去掉根号的恒等式是它的依据

部分分式分解

1(x-a)(x-b) = Ax-a + Bx-b

分母是一次因式乘积的有理函数，先拆成部分分式，再分别积分成对数的形式。两边乘以 (x − a)(x − b)，再令 x = a、x = b，就能求出 A、B

💡 选择方法的依据

①同时看到内层函数和它的导数，用换元积分

②两类不同函数相乘，用分部积分

③根号里是 a² − x² 这样的形式，用三角换元

④分母能因式分解的分式，用部分分式

⑤积分后对结果求导，检查能否回到被积函数

常用积分公式

指数函数与 1/x 的积分

∫ eˣ dx = eˣ + C, ∫ 1x dx = ln|x| + C

eˣ 的积分还是 eˣ，1/x 的积分是 ln|x|。加绝对值是为了把 x < 0 的区间也包括进来

三角函数的积分

∫ sin x dx = −cos x + C，∫ cos x dx = sin x + C

因为（cos x）′ = −sin x，所以 sin x 的积分前面有负号

sec² 与 csc² 的积分

∫ sec²x dx = tan x + C, ∫ csc²x dx = −cot x + C

这是把（tan x）′ = sec²x 和（cot x）′ = −csc²x 倒过来读

例题

例题 1

求不定积分 ∫ 2x cos(x²) dx。

把内层函数 x² 设为 u，则 du = 2x dx。

u = x², du = 2x dx

对 u 积分，再换回 x。

∫ cos u du = sin u + C = sin(x²) + C

▸ sin(x²) + C

如果乘着内层函数的导数，就是可以用换元积分的信号。

例题 2

求不定积分 ∫ x e^x dx。

设 u = x，dv = e^x dx，则 du = dx，v = e^x。

u = x, dv = e^x dx ⇒ du = dx, v = e^x

代入分部积分公式 ∫ u dv = uv − ∫ v du。

x e^x − ∫ e^x dx = x e^x − e^x + C

▸ (x − 1)e^x + C

把多项式设为 u，每求一次导次数就降低，积分变容易。反过来把 eˣ 设为 u，x 的次数会升高，反而更复杂。

小结

如何选择积分法

复合函数 → 换元，两函数相乘 → 分部，根号 → 三角换元，分式 → 部分分式

看被积函数的形状，从四种方法中选一种

韩国高考类题改编

定积分 ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx 的值是多少？

①154

②4

③174

④152

⑤8

▸ ① 154

令 u = x² + 1，积分上下限也一起换：x 从 0 到 1 时，u 从 1 到 2。

u = x² + 1, x: 0 → 1 ⇒ u: 1 → 2

计算关于 u 的定积分。

∫₁² u³ du = 2⁴ − 1⁴4 = 154

🎯 考试要点

①换元积分的关键是把什么设为 u，通常把内层函数设为 u

②分部积分按对数、多项式、三角、指数的顺序选 u

③定积分换元时，上下限也要换成 u 的值

④部分分式要先把分母因式分解，再确定系数

⑤积分后，对结果求导进行验算

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速度与加速度

定积分

最后更新 2026-10-17

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换元积分

分部积分

按形状选方法

常用积分公式

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