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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 定积分

定积分不只是面积，而是带符号的面积。 x 轴上方算作正，下方算作负，所以两部分同时存在时可能互相抵消。 计算的关键是微积分基本定理：找到一个原函数 F，用上限处的值 F(b) 减去下限处的值 F(a)，就是定积分。 在第一幅图中移动 a 和 b，可以看到 sin x 的正、负部分如何相加和抵消；在第二幅图中，上限再大，1/x² 下方的面积也不超过1。

定积分与带符号的面积

0
3.1
👀 带符号的面积
①x 轴上方的面积记为 +，下方记为 −
②a = 0，b = π 时定积分为2（全在 x 轴上方）
③a = 0，b = 2π 时定积分为0（上下抵消）
④图中 b 以0.1为间隔变化，所以在3.1处而不是 π 处值接近2

微积分基本定理

微积分基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)
定积分 = 原函数在上限的值 − 在下限的值
🌉 连接微分与积分的桥梁
①求导与积分互为逆运算
②找到满足 F'(x) = f(x) 的 F，定积分就是 F(b) − F(a)
③图中 sin x 的原函数是 F(x) = −cos x，所以定积分是 cos a − cos b
基本定理的另一种形式
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
对上限为 x 的定积分关于 x 求导，得到被积函数

定积分性质

区间可加性
∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx
把区间分开积分再相加，等于整个区间上的积分
关于 y 轴对称的函数
f(−x) = f(x) → ∫−aa f dx = 2∫0a f dx
图像关于 y 轴对称时，算一半再乘2
关于原点对称的函数
f(−x) = −f(x) → ∫−aa f dx = 0
图像关于原点对称时，对称区间上的积分为0
⚖️ 用对称性减少计算
①关于 y 轴对称的函数（f(−x) = f(x)）只算0到 a 的部分再乘2
②关于原点对称的函数（f(−x) = −f(x)）两侧抵消，结果为0
③多项式可以拆成偶次项和奇次项来运用这些性质

上限为无穷的积分（拓展）

5
∞ 无限延伸，面积却有限
①1/x² 减小得很快，所以即使无限延伸，面积也有限
②从1到 t 的面积是 1 − 1/t，t → ∞ 时趋于1
③而 1/x 从1到 t 的面积是 ln t，t → ∞ 时无限增大
收敛与发散的标准
∫1∞ 1xp dx : p > 1 收敛, p ≤ 1 发散
p > 1 时面积有限，p ≤ 1 时无限增大。这超出了高中课程的一般要求

用例题巩固

例题 1
求定积分 ∫12 (3x2 + 2) dx。
1
取导数为 3x² + 2 的函数 F(x) = x³ + 2x。
F(x) = x3 + 2x
2
由基本定理计算 F(2) − F(1)。
(23 + 2·2) − (13 + 2·1) = 12 − 3 = 9
▸ 9
F(2) = 12，F(1) = 3，所以答案是9。原函数中的常数 C 在相减时抵消。
例题 2
求定积分 ∫−22 (x3 + x2) dx。
1
x³ 关于原点对称（积分为0），x² 关于 y 轴对称（算一半再乘2），所以把两部分分开。
∫−22 x3 dx = 0, ∫−22 x2 dx = 2∫02 x2 dx
2
只计算关于 y 轴对称的 x² 部分。
2 · 233 = 163
▸ 163
在对称区间上，关于原点对称的部分为0，关于 y 轴对称的部分只需算一半，计算量大大减少。

总结

微积分基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)
计算定积分最终归结为寻找原函数
韩国高考类题改编
已知函数 g(x) = ∫1x (2t + 1) dt，求 g'(2) + g(1) 的值。
①3
②4
③5
④6
⑤7
▸ ③ 5
1
由基本定理，g'(x) = 2x + 1，所以 g'(2) = 5。
g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5
2
g(1) 是从1到1的积分，等于0。
g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5
🎯 考试要点
①计算 F(b) − F(a) 是最基本的
②x 轴下方的部分以负值计入，要与面积区分
③在对称区间上利用对称性减少计算
④对上限为 x 的定积分求导，得到被积函数
⑤上限为 x 的定积分在 x 取下限时为0
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