微积分›定积分

定积分

Definite Integrals

定积分与带符号面积
0
3.141592653589793
👀 带符号面积
①x 轴之上为正、之下为负
②a=0, b=π → 面积 2（全为正）
③a=0, b=2π → 面积 0（正负相消!）
④这是定积分的核心
微积分基本定理
基本定理（FTC）
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)
定积分 = 原函数在上限 − 下限
🌉 微分与积分的桥梁
①微分与积分互为逆运算
②找出 F 使 F'(x) = f(x)，则积分为 F(b) − F(a)
③数学中最美的定理之一
FTC 第二式
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
对上限为 x 的积分求导即被积函数
定积分性质
区间分裂
∫ab f dx = ∫ac f dx + ∫cb f dx
把区间分段后相加
偶/奇函数
f(−x) = f(x) → ∫−aa f dx = 2∫0a f dx
偶函数对称：算一半再乘 2
奇函数性质
f(−x) = −f(x) → ∫−aa f dx = 0
奇函数对称区间积分恒为 0
⚖️ 对称的威力
①偶函数：关于 y 轴对称 → 半算 × 2
②奇函数：关于原点对称 → 相消 → 0
③考试中省一半计算的关键
反常积分
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∞ 无穷却有限?
①1/x² 衰减极快，到无穷面积仍有限
②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → t→∞ 时 1
③而 ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞ 发散!
反常积分收敛判别
∫1∞ 1xp dx : p > 1 收敛, p ≤ 1 发散
p 级数：p=2 收敛、p=1（调和级数）发散
总结
微积分基本定理
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)
定积分计算归结为求原函数
🎯 考试要点
①FTC：求 F(b) − F(a)
②带符号面积：x 轴下方为负
③偶/奇函数：对称区间减半计算
④反常积分：p > 1 收敛、p ≤ 1 发散
⑤FTC 第二式：上限为 x 的积分的导数 = f(x)