定积分

Definite Integrals

定积分不只是面积，而是带符号的面积。 x轴上方记为正、下方记为负，所以两块面积可能互相抵消。计算的真正关键是微积分基本定理：找出一个原函数F，再用上限值F(b)减去下限值F(a)，那就是定积分。在下方拖动两端a和b，亲眼看看sin x的正面积与负面积如何相加又抵消。

定积分与带符号面积

下限 a0

上限 b3.141592653589793

👀 带符号面积

①x 轴之上为正、之下为负

②a=0, b=π → 面积 2（全为正）

③a=0, b=2π → 面积 0（正负相消!）

④这是定积分的核心

微积分基本定理

基本定理（FTC）

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (F' = f)

定积分 = 原函数在上限 − 下限

🌉 微分与积分的桥梁

①微分与积分互为逆运算

②找出 F 使 F'(x) = f(x)，则积分为 F(b) − F(a)

③数学中最美的定理之一

FTC 第二式

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

对上限为 x 的积分求导即被积函数

定积分性质

区间分裂

∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx

把区间分段后相加

偶/奇函数

f(−x) = f(x) → ∫_−a^a f dx = 2∫₀^a f dx

偶函数对称：算一半再乘 2

奇函数性质

f(−x) = −f(x) → ∫_−a^a f dx = 0

奇函数对称区间积分恒为 0

⚖️ 对称的威力

①偶函数：关于 y 轴对称 → 半算 × 2

②奇函数：关于原点对称 → 相消 → 0

③考试中省一半计算的关键

反常积分

上限 t5

∞ 无穷却有限?

①1/x² 衰减极快，到无穷面积仍有限

②∫₁^t 1/x² dx = 1 − 1/t → t→∞ 时 1

③而 ∫₁^∞ 1/x dx = ln t → ∞ 发散!

反常积分收敛判别

∫₁^∞ 1x^p dx : p > 1 收敛, p ≤ 1 发散

p 级数：p=2 收敛、p=1（调和级数）发散

例题演练

例题 1

求定积分 ∫₁² (3x² + 2) dx。

求原函数 F(x)。

F(x) = x³ + 2x

用微积分基本定理计算 F(2) − F(1)。

(2³ + 2·2) − (1³ + 2·1) = 12 − 3 = 9

▸ 9

定积分通过求原函数 F，再取 F(上限) − F(下限) 计算（FTC）。

例题 2

求定积分 ∫₋₂² (x³ + x²) dx。

拆分：x³ 是奇函数（积分为 0），x² 是偶函数（算一半再乘 2）。

∫₋₂² x³ dx = 0, ∫₋₂² x² dx = 2∫₀² x² dx

只计算偶函数部分。

2 · 2³3 = 163

▸ 163

对称区间上，奇函数为 0，偶函数算一半乘 2 — 大幅减少计算量。

总结

微积分基本定理

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), F'(x) = f(x)

定积分计算归结为求原函数

高考类型变式

已知函数 g(x) = ∫₁^x (2t + 1) dt，求 g'(2) + g(1) 的值。

①3

②4

③5

④6

⑤7

▸ ③ 5

由 FTC 第二形式，g'(x) = 2x + 1。

g'(x) = 2x + 1 ⇒ g'(2) = 5

g(1) 的积分区间长度为 0，故为 0。

g(1) = 0 ⇒ g'(2) + g(1) = 5

🎯 考试要点

①FTC：求 F(b) − F(a)

②带符号面积：x 轴下方为负

③偶/奇函数：对称区间减半计算

④反常积分：p > 1 收敛、p ≤ 1 发散

⑤FTC 第二式：上限为 x 的积分的导数 = f(x)