把定积分的上限设为 x 并让它移动，到当前为止累积的有向面积就成了 x 的函数 F(x)。
x 经过 f 为正的区间时，面积在增加，F 变大；经过 f 为负的区间时，面积在减少，F 变小。
把这样由面积得到的 F 求导，就会得到原来的被积函数 f，这就是微积分基本定理。
移动上限 x，涂色的面积和金色曲线 F 一起变化：F 先减小，在 x = 1 处达到最小，然后又增大。
面积累积成函数
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F(x) = ∫₀ˣ (t − 1) dt：红色是减去的面积，绿色是加上的面积，金色曲线是 F
1.5
👀 从图中读出什么
①F(x) 是 f(t) = t − 1 从 0 到 x 围成的有向面积
②0 < x < 1 时 f 为负，红色面积不断累积，F 减小
③x = 1 时 f 由负变正，所以 F 取得极小值 F(1) = −1/2
④x > 1 时绿色面积加进来，F 再次增大；x = 2 时两块面积相等，F(2) = 0
⑤上方的 F′(x) = f(x) 等于蓝点的高度，它的正负决定金色曲线是上升还是下降
求导得到被积函数
微积分基本定理
ddx ∫ax f(t) dt = f(x)
下限 a 为常数时，对上限 x 求导，得到的正是 f(x)。如果上限是 g(x)，由链式法则得 F′(x) = f(g(x)) · g′(x)
下限处的值
F(a) = ∫aa f(t) dt = 0
积分区间长度为 0 时，面积也为 0
F 的单调性与极值
F 的增减判定
F′(x) = f(x) ⇒ f > 0 时 F 递增，f < 0 时 F 递减
F 在 f(x) = 0 且 f 变号的 x 处取得极值
例题
例题 1
求 F(x) = ∫0x (t − 2) dt 的极值。
1
由基本定理，对 F 求导得到被积函数。
F′(x) = x − 2
2
由 F′(x) = 0 得 x = 2，在它两侧符号由负变正，所以是极小值。
F(2) = ∫02 (t−2) dt = [t22 − 2t]02 = −2
▸ 极小值 −2
不必先积分，由 F′ = f 就能判断 F 的增减。只有需要具体数值时，才积分到那个 x。
例题 2
F(x) = ∫0x (t² − 3t + 2) dt，求 F′(1) 的值。
1
由基本定理 F′(x) = f(x)，把被积函数中的 t 换成 x 就是 F′(x)。
2
代入 x = 1。
F′(1) = 1 − 3 + 2 = 0
▸ 0
不用积分求 F，直接算 f(1) 即可。
小结
要点
F(x) = ∫ax f(t) dt ⇒ F′(x) = f(x)，F(a) = 0
求导得到被积函数，下限处的值为 0。大多数题目都从这两点出发
2021 评价院模考数学（微积分）类题改编
函数 F(x) = ∫0x (t² − 2t) dt 的极小值是多少？
①−4/3
②−2/3
③0
④4/3
⑤2
▸ ① −4/3
1
由 F′(x) = x² − 2x = x(x − 2) = 0 得 x = 0 或 x = 2。在 x = 2 两侧符号由负变正，所以是极小值。