由定积分定义的函数

Functions Defined by Integrals

当你把定积分的上限一点点向外推移时，到此为止累积的带符号面积就变成了关于 x 的一个全新函数 F(x)。 f 为正的区间面积不断累加，F 增大；f 为负的区间面积被削去，F 减小。奇妙的是，把这个由面积构成的 F 求导，又原样得回原来的被积函数 f，这就是微积分基本定理。拖动上限 x 滑块，观察阴影面积如何累积，以及 F 的值何时增大、何时减小。

面积累积成函数

上限 x1.5

👀 用眼睛看

①F(x) 是从 0 到 x 的 f 的带符号面积

②f 为正的区间面积累加，F 增加

③f 为负的区间 F 减少

④f 变号之处 x，F 取极值

求导即得被积函数

微积分基本定理(第二)

ddx ∫_a^x f(t) dt = f(x)

下限 a 为常数，对上限 x 求导即得 f(x)

下限处的值

F(a) = ∫_a^a f(t) dt = 0

积分区间为一点则面积为 0

F 的增减与极值

F 的增减判定

F'(x) = f(x) ⇒ f>0 则 F 增，f<0 则 F 减

F 的极值出现在 f(x)=0 且变号的 x 处

直接求一求

例题 1

求 F(x)=∫₀^x (t−2) dt 的极值。

由基本定理求导即得被积函数。

F'(x) = x − 2

F'(x)=0 ⇒ x=2，两侧符号 −→+，故极小。

F(2) = ∫₀² (t−2) dt = [t²2 − 2t]₀² = −2

▸ 极小值 −2

无需直接积分 F，用 F′=f 即可先判断增减。

例题 2

已知 F(x)=∫₀^x (t²−3t+2) dt，求 F'(1)。

由基本定理 F'(x)=f(x)，将 t 换为 x 即为 F′。

代入 x=1。

F'(1) = 1 − 3 + 2 = 0

▸ 0

无需积分 F，直接计算 f(1) 即可。

总结

核心结论

F(x)=∫_a^x f(t) dt ⇒ F'(x)=f(x), F(a)=0

求导得被积函数，下限处为 0 — 这两点是一切题目的起点

2021 评价院模考数学(微积分)类题改编

函数 F(x)=∫₀^x (t²−2t) dt 的极小值为?

①−4/3

②−2/3

③0

④4/3

⑤2

▸ ① −4/3

F'(x)=x²−2x=x(x−2)=0 ⇒ x=0, x=2。x=2 处符号 −→+，故极小。

计算 F(2)=∫₀² (t²−2t) dt = [t³3 − t²]₀²。

F(2) = 83 − 4 = −43

🎯 考试要点

①若 F(x)=∫_a^x f(t)dt 则 F'(x)=f(x)

②F(a)=0(下限处面积为 0)

③F 的极值在 f 变号处

④问极值的题在该 x 再积分求值

⑤上限为 g(x) 时由复合 F'=f(g(x))·g'(x)