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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 方程与不等式的应用

说到解方程，人们往往想通过计算求出 x，而用导数可以把方程变成一张图像来看。 x³ − 3x = k 的实根就是曲线 y = x³ − 3x 与水平直线 y = k 交点的横坐标，所以不用计算就能数出有几个根。 不等式也一样，只要确认两边之差的最小值不小于0，证明就完成了。 在图中上下移动水平直线 y = k，可以看到交点由3个变成1个的分界，正是极大值2和极小值 −2 所在的位置。

实根就是图像的交点

0
👀 从图中读出什么
①方程 f(x) = k 的实根是 y = f(x) 与 y = k 交点的横坐标
②−2 < k < 2 时有3个交点，k > 2 或 k < −2 时有1个
③k = ±2 时直线与峰顶或谷底相切，出现重根，不同实根有2个
④作为分界的 k 就是极大值和极小值

三次方程实根的个数

用极值的符号判定
(极大值) × (极小值) < 0 ⇒ 三个互异实根
积为0时有重根，不同实根2个；积为正时1个

化成 f(x) = k 的形式

分离常数
f(x)=k 的实根数 = y=f(x) 与 y=k 的交点数
把 k 看成上下移动的水平直线，极值就是个数发生变化的分界

用例题检验

例题 1
求方程 x³−3x+1=0 的互异实根个数。
1
设 f(x) = x³ − 3x + 1，由 f'(x) = 3x² − 3 = 0 得 x = ±1。
2
极大值 f(−1) = 3 > 0，极小值 f(1) = −1 < 0，符号相反。
(极大值)(极小值) < 0 ⇒ 实根 3 个
▸ 3 个
峰顶在 x 轴上方，谷底在 x 轴下方，所以图像与 x 轴相交三次。这和图中取 k = −1 时的情形相同。
例题 2
证明在 x ≥ 0 上不等式 x³−3x+2 ≥ 0 成立。
1
设 g(x) = x³ − 3x + 2，由 g'(x) = 3x² − 3 = 0，在 x ≥ 0 上得 x = 1。
2
在 x ≥ 0 上 g 的最小值是 g(1) = 1 − 3 + 2 = 0，不小于0。
minx≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0
▸ 最小值 0 ≥ 0，故成立
证明不等式，只要说明（左边 − 右边）的最小值不小于0。把 g(x) 分解为 (x − 1)²(x + 2)，也能看出在 x ≥ 0 上它不小于0。

总结

解题策略
实根数 = 图像交点, 不等式 = 最小值的符号
方程看极值的符号，不等式看最小值
2022 教育厅学力评价数学类题改编
使方程 x³−3x = k 有三个互异实根的实数 k 的取值范围是？
①k < −2
②−2 < k < 2
③k > 2
④k = ±2
⑤全体实数
▸ ② −2 < k < 2
1
对 f(x) = x³ − 3x，由 f'(x) = 3x² − 3 = 0 得极大值 f(−1) = 2，极小值 f(1) = −2。
2
要有三个不同的实根，水平直线 y = k 必须在极小值与极大值之间。
−2 < k < 2
🎯 考试要点
①把方程的实根化为图像的交点来数
②三次方程实根的个数由（极大值）（极小值）的符号确定
③分离常数写成 f(x) = k，移动水平直线
④不等式要证明差的最小值不小于0
⑤x 有范围限制时，看该范围内的最小值
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