方程与不等式的应用

Equations & Inequalities

让你解方程时，一般都想用计算把 x 找出来，但用微分可以把方程换成一幅图来看。 x³−3x=k 的实根，正好就是曲线 y=x³−3x 与水平线 y=k 相交的交点，所以不必求解，用眼睛就能数出根的个数。不等式也一样，只要确认两边之差最小的那个值，也就是最小值不小于 0，证明就完成了。上下拖动水平线 y=k，看看交点个数从 1 个变成 3 个的分界，为什么恰好落在极大值与极小值处。

实根就是图像的交点

水平线 y = k0

👀 用眼睛看

①方程 f(x)=k 的实根是 y=f(x) 与 y=k 的交点

②升降 k 时交点数在 1↔3 间变化

③边界是经过极大值与极小值的瞬间

三次方程实根个数判定

由极值符号判定

(极大值) × (极小值) < 0 ⇒ 三个互异实根

积为 0 则重根(2 个)，大于 0 则 1 个

分离成 f(x)=k 形式

常数分离

f(x)=k 的实根数 = y=f(x) 与 y=k 的交点数

把 k 看作移动的水平线，极值便成为边界

直接解一解

例题 1

求方程 x³−3x+1=0 的互异实根个数。

f(x)=x³−3x+1, 由 f'(x)=3x²−3=0 得 x=±1。

极大值 f(−1)=3>0，极小值 f(1)=−1<0 — 符号相异。

(极大值)(极小值) < 0 ⇒ 实根 3 个

▸ 3 个

三次函数仅看极大值与极小值的符号即可立得实根个数。

例题 2

证明在 x ≥ 0 上不等式 x³−3x+2 ≥ 0 成立。

g(x)=x³−3x+2, 由 g'(x)=3x²−3=0 在 x≥0 得 x=1。

x≥0 上最小值为 g(1)=1−3+2=0 ≥ 0。

min_x≥0 g(x) = g(1) = 0 ⇒ g(x) ≥ 0

▸ 最小值 0 ≥ 0，故成立

证明不等式的定法是说明 (左边−右边) 的最小值不小于 0。

总结

核心策略

实根数 = 图像交点, 不等式 = 最小值的符号

方程看极值符号，不等式看最小值 — 都用求导一以贯之

2022 教育厅学力评价数学类题改编

使方程 x³−3x = k 有三个互异实根的实数 k 的取值范围是?

①k < −2

②−2 < k < 2

③k > 2

④k = ±2

⑤全体实数

▸ ② −2 < k < 2

f(x)=x³−3x, 由 f'(x)=3x²−3=0 得极大 f(−1)=2、极小 f(1)=−2。

三实根的条件是水平线 y=k 介于极小值与极大值之间。

−2 < k < 2

🎯 考试要点

①方程实根化归为图像交点

②三次实根数由 (极大)(极小) 符号定

③f(x)=k 用常数分离作水平线移动

④不等式证 (差) 的最小值 ≥ 0

⑤定义域受限时看该区间的最小值