seegongsik
高中三年级 (17-18岁)

高中数学 二阶导数与拐点

函数在哪里增大、在哪里减小由导数告诉我们，而曲线向哪边弯曲，要看二阶导数 f″ 的符号。 f″ 为正的区间，图像像碗一样向下凸（∪）；f″ 为负的区间，图像像盖子一样向上凸（∩）。 弯曲方向发生改变的点就是拐点，它既要满足 f″ = 0，还要满足左右两侧 f″ 变号。 在图中让点沿曲线移动，经过 x = 0 时，曲线的颜色和弯曲方向会同时改变。

看清弯曲的方向

1
👀 从图中读出什么
①f″ > 0 时曲线向下凸（∪），切线在曲线下方
②f″ < 0 时曲线向上凸（∩），切线在曲线上方
③对 y = x³ − 3x，f″(x) = 6x，所以在 x = 0 处凸的方向改变
④因此原点是拐点

凹凸方向的判定

凹凸方向的判定
f″(x) > 0 ⇒ 下凸, f″(x) < 0 ⇒ 上凸
二阶导数的符号决定曲线弯曲的方向
拐点的条件
f″(a)=0 且 x=a 两侧 f″ 变号 ⇒ (a, f(a)) 为拐点
f″ = 0 只是必要条件，还要确认符号是否改变才是拐点
🪞 f″ 的符号决定形状
①在 f″(x) > 0 的区间上，图像向下凸
②在 f″(x) < 0 的区间上，图像向上凸
③拐点是 f″ = 0 且符号改变的点，只有 f″ = 0 还不够
④例如 y = x⁴ 在 x = 0 处 f″ = 0，但两侧都向下凸，所以不是拐点

用二阶导数判定极值

用二阶导数判定极值
f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 极小 / f″(a)<0 ⇒ 极大
在导数为0的点，根据 f″ 的符号立刻区分极大与极小

用例题检验

例题 1
求 f(x)=x³−3x²+1 的拐点坐标。
1
求出二阶导数。
f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6
2
解 f″(x) = 0，确认符号改变后求 y 坐标。
f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1
▸ (1, −1)
在 x = 1 两侧 f″ 的符号由 − 变为 +，所以确实是拐点。
例题 2
用二阶导数判定法求 f(x)=x³−3x 的极值。
1
由 f'(x) = 3x² − 3 = 0 得 x = ±1，f″(x) = 6x。
2
f″(1) = 6 > 0，所以是极小值；f″(−1) = −6 < 0，所以是极大值。
极小值 f(1)=−2, 极大值 f(−1)=2
▸ 极大值 2，极小值 −2
不画单调性表，只看 f″ 的符号就能区分极大与极小。图中的曲线正是这个函数。

总结

要点
f″>0 下凸, f″<0 上凸, 变号点 = 拐点
画图像时要同时看 f′（增减）与 f″（凹凸、拐点）
2021 评价院模考数学（微积分）类题改编
函数 f(x)=x³−6x²+9x+1 的拐点坐标为？
①(1, 5)
②(2, 3)
③(2, 5)
④(3, 1)
⑤无拐点
▸ ② (2, 3)
1
f'(x) = 3x² − 12x + 9，f″(x) = 6x − 12。
2
由 f″(x) = 0 得 x = 2，f(2) = 8 − 24 + 18 + 1 = 3。
拐点 (2, 3)
🎯 考试要点
①f″ > 0 向下凸，f″ < 0 向上凸
②拐点需要 f″ = 0 与变号同时成立
③极值在 f′ = 0 的点由 f″ 的符号判定
④图像的大致形状由 f′、f″ 的符号表画出
⑤拐点要求出 y 坐标，用坐标作答
← 上一页
导数的应用
下一页 →
方程与不等式的应用

最后更新

如果有帮助，请支持我们