二阶导数与拐点

Second Derivative & Inflection

函数在哪里变大变小，由一阶导数告诉你；而曲线朝哪个方向弯，则由二阶导数 f″ 来告诉你。 f″ 为正的区间，图像像杯子一样下凸(∪)；f″ 为负的区间，则像盖子一样上凸(∩)。弯曲方向翻转的那一点正是拐点，所以必须 f″=0 且左右两侧符号也改变，才算真正的拐点。把点沿曲线慢慢移动，亲自找出那个拐点：f″ 符号一变，颜色和弯曲方向就一起翻转。

读出弯曲的方向

点的位置 x1

👀 用眼睛看

①f″>0 时曲线下凸(∪)

②f″<0 时上凸(∩)

③凸向改变之点即拐点

④移动点时颜色改变之处便是拐点

凹凸的定义

凹凸判定

f″(x) > 0 ⇒ 下凸, f″(x) < 0 ⇒ 上凸

二阶导数的符号决定曲线的弯曲方向

拐点的条件

f″(a)=0 且 x=a 两侧 f″ 变号 ⇒ (a, f(a)) 为拐点

f″=0 仅为必要条件 — 还须确认变号

🪞 f″ 的符号决定形状

①f″(x)>0 的区间图像下凸

②f″(x)<0 的区间上凸

③拐点是 f″=0 且符号改变之处 — 仅 f″=0 不够

二阶导数极值判定法

二阶导数判定法

f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 极小 / f″(a)<0 ⇒ 极大

在驻点处用 f″ 的符号快速判定极大与极小

直接求一求

例题 1

求 f(x)=x³−3x²+1 的拐点坐标。

求二阶导数。

f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6

解 f″(x)=0，确认变号后求 y 坐标。

f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1

▸ (1, −1)

x=1 两侧 f″ 由 −→+ 变号，故确为拐点。

例题 2

用二阶导数判定法求 f(x)=x³−3x 的极值。

由 f'(x)=3x²−3=0 得 x=±1，f″(x)=6x。

f″(1)=6>0 故极小，f″(−1)=−6<0 故极大。

极小值 f(1)=−2, 极大值 f(−1)=2

▸ 极大值 2, 极小值 −2

无需 f′ 符号表，仅凭 f″ 一个符号即可分辨极大极小。

总结

核心结论

f″>0 下凸, f″<0 上凸, 变号点 = 拐点

图像概形要同时读 f′(增减)与 f″(凹凸·拐点)

2021 评价院模考数学(微积分)类题改编

函数 f(x)=x³−6x²+9x+1 的拐点坐标为?

①(1, 5)

②(2, 3)

③(2, 5)

④(3, 1)

⑤无拐点

▸ ② (2, 3)

f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12。

f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3。

拐点 (2, 3)

🎯 考试要点

①f″>0 下凸·f″<0 上凸

②拐点须 f″=0 且变号(二者皆需)

③极值先 f'=0 再由 f″ 符号判定

④概形用 f'·f″ 符号表

⑤拐点务必连 y 值一起求