seegongsik
高中三年级 (17-18岁)

二阶导数与拐点

Second Derivative & Inflection

读出弯曲的方向
1
👀 用眼睛看
①f″>0 时曲线下凸(∪)
②f″<0 时上凸(∩)
③凸向改变之点即拐点
④移动点时颜色改变之处便是拐点
凹凸的定义
凹凸判定
f″(x) > 0 ⇒ 下凸, f″(x) < 0 ⇒ 上凸
二阶导数的符号决定曲线的弯曲方向
拐点的条件
f″(a)=0 且 x=a 两侧 f″ 变号 ⇒ (a, f(a)) 为拐点
f″=0 仅为必要条件 — 还须确认变号
🪞 f″ 的符号决定形状
①f″(x)>0 的区间图像下凸
②f″(x)<0 的区间上凸
③拐点是 f″=0 且符号改变之处 — 仅 f″=0 不够
二阶导数极值判定法
二阶导数判定法
f'(a)=0, f″(a)>0 ⇒ 极小 / f″(a)<0 ⇒ 极大
在驻点处用 f″ 的符号快速判定极大与极小
直接求一求
例题 1
求 f(x)=x³−3x²+1 的拐点坐标。
1
求二阶导数。
f'(x)=3x²−6x, f″(x)=6x−6
2
解 f″(x)=0，确认变号后求 y 坐标。
f″(x)=0 ⇒ x=1, f(1)=1−3+1=−1
▸ (1, −1)
x=1 两侧 f″ 由 −→+ 变号，故确为拐点。
例题 2
用二阶导数判定法求 f(x)=x³−3x 的极值。
1
由 f'(x)=3x²−3=0 得 x=±1，f″(x)=6x。
2
f″(1)=6>0 故极小，f″(−1)=−6<0 故极大。
极小值 f(1)=−2, 极大值 f(−1)=2
▸ 极大值 2, 极小值 −2
无需 f′ 符号表，仅凭 f″ 一个符号即可分辨极大极小。
总结
核心结论
f″>0 下凸, f″<0 上凸, 变号点 = 拐点
图像概形要同时读 f′(增减)与 f″(凹凸·拐点)
2021 评价院模考数学(微积分)类题改编
函数 f(x)=x³−6x²+9x+1 的拐点坐标为?
①(1, 5)
②(2, 3)
③(2, 5)
④(3, 1)
⑤无拐点
▸ ② (2, 3)
1
f'(x)=3x²−12x+9, f″(x)=6x−12。
2
f″(x)=0 ⇒ x=2, f(2)=8−24+18+1=3。
拐点 (2, 3)
🎯 考试要点
①f″>0 下凸·f″<0 上凸
②拐点须 f″=0 且变号(二者皆需)
③极值先 f'=0 再由 f″ 符号判定
④概形用 f'·f″ 符号表
⑤拐点务必连 y 值一起求
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