微积分›各种函数的微分

各种函数的微分

Derivatives of Transcendental Functions

导函数等于自身的函数

切点 x1

👀 惊人性质

金色为 eˣ、蓝虚线为切线。切线斜率（即导数）始终等于该点的函数值！(eˣ)' = eˣ

三角函数的微分

x 位置1

🔄 sin → cos 转换

①sin x 在顶点 → cos x 为 0

②sin 递增区间 → cos > 0

③sin 递减区间 → cos < 0

④导数即变化率，故合理

超越函数的导数公式

指数函数的导数

(eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a

eˣ 的导数为其自身；aˣ 多乘 ln a

三角函数的导数

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

sin → cos；cos → −sin

对数函数的导数

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

ln 的导数为 1/x；log_a 还要除以 ln a

其余三角函数的导数

tan, sec

(tan x)' = sec²x, (sec x)' = sec x · tan x

(tan)' = sec²，(sec)' = sec·tan

cot, csc

(cot x)' = −csc²x, (csc x)' = −csc x · cot x

cot, csc 注意负号

💡 记忆诀窍

①sin → cos：正号

②cos → −sin：负号

③tan → sec²

④以 co- 开头的函数（cos, cot, csc）求导都带负号

总结

核心导数公式

(eˣ)' = eˣ, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (ln x)' = 1/x

最常考的四大超越函数导数

🎯 考试要点

①(eˣ)' = eˣ：唯一不因求导改变的函数

②三角循环：sin → cos → −sin → −cos

③(ln x)' = 1/x：对数微分的基础

④(aˣ)' = aˣ ln a，a=e 时 ln e =1

⑤co- 类函数求导必带负号