指数函数、三角函数、对数函数虽然不是多项式，却各有简洁的求导公式。
尤其是 eˣ，求导后还是它自己，所以在任何一点，切线的斜率都等于这一点的高度。
sin x 的导数是 cos x，cos x 的导数是 −sin x，这也只是把图像升降的快慢如实读了出来。
移动切点 x，比较 eˣ 上切线的斜率和高度，还可以检验 sin x 上切线的斜率是否等于 cos x 的高度。
导数等于自身的函数
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y = eˣ 与切线：红色虚线是高度，白线是长为 1 的底边
1
👀 高度与斜率相等
①金色曲线是 y = eˣ，蓝线是在切点处作的切线
②因为 (eˣ)′ = eˣ，切线的斜率等于切点的高度 eˣ
③所以切线总是在切点左边 1 个单位处与 x 轴相交：以 1 为底、eˣ 为高的直角三角形，斜边正好是切线
三角函数的导数
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y = sin x 上的切线，以及同一 x 处 y = cos x 的高度
1
🔄 sin x 的斜率与 cos x
①sin x 在最高点（x = π/2）时切线水平，此时 cos x = 0
②sin x 递增的区间里 cos x > 0，递减的区间里 cos x < 0
③在 sin x 上升最陡的 x = 0 处，cos x 取最大值 1。导数就是变化率，所以两者这样吻合
各类函数的求导公式
指数函数的导数
(eˣ)′ = eˣ, (aˣ)′ = aˣ ln a
底为 e 时导数就是它本身；底为 a 时要乘上 ln a
三角函数的导数
(sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
sin x 的导数是 cos x，cos x 的导数是 −sin x
对数函数的导数
(ln x)' = 1x, (loga x)' = 1x ln a
自然对数的导数是 1/x；底为 a 的对数还要再乘 1/ln a
其余三角函数的导数
tan x、sec x 的导数
(tan x)′ = sec²x, (sec x)′ = sec x · tan x
用商的求导法则对 tan x = sin x / cos x 求导，得到 1/cos²x = sec²x
cot x、csc x 的导数
(cot x)′ = −csc²x, (csc x)′ = −csc x · cot x
cot x 和 csc x 的导数带负号
💡 记忆方法
①sin x 的导数是 cos x，不变号
②cos x 的导数是 −sin x
③tan x 的导数是 sec²x
④名称以 co 开头的 cos、cot、csc，导数都带负号
例题
例题 1
求函数 y = ex sin x 的导数。
1
用乘积的求导法则（fg）′ = f′g + fg′，其中 f = ex，g = sin x。
(ex sin x)′ = (ex)′ sin x + ex (sin x)′
2
代入 (ex)′ = ex，（sin x）′ = cos x。
ex sin x + ex cos x = ex(sin x + cos x)
▸ ex(sin x + cos x)
ex 求导后不变，所以含因子 ex 的式子只要正确使用乘积法则即可。
例题 2
求函数 y = ln(cos x) 的导数。
1
对外层函数 ln u 求导，再乘以内层 u = cos x 的导数。
y' = 1cos x · (cos x)'
2
代入（cos x）′ = −sin x。
y' = -sin xcos x = -tan x
▸ −tan x
因为（ln u）′ = u′/u，内层 cos x 的导数 −sin x 出现在分子上。复合函数求导将在下一单元详细讲解。