各种函数的微分

Derivatives of Transcendental Functions

像指数函数、三角函数、对数函数这些非多项式的函数，也各有一套出奇简洁的求导公式。尤其是 eˣ，无论求导多少次都仍是它自己，所以在任何一点，切线的斜率都恰好等于该点的高度。 sin 求导变 cos、cos 求导变 −sin 的循环，其实只是把图像升降的变化率照实读出来。拖动切点 x，看看 eˣ 的斜率是否始终跟着函数值走；再推动 x，观察 sin 增大时 cos 如何回应。

导函数等于自身的函数

切点 x1

👀 惊人性质

金色为 eˣ、蓝虚线为切线。切线斜率（即导数）始终等于该点的函数值！(eˣ)' = eˣ

三角函数的微分

x 位置1

🔄 sin → cos 转换

①sin x 在顶点 → cos x 为 0

②sin 递增区间 → cos > 0

③sin 递减区间 → cos < 0

④导数即变化率，故合理

超越函数的导数公式

指数函数的导数

(eˣ)' = eˣ, (aˣ)' = aˣ ln a

eˣ 的导数为其自身；aˣ 多乘 ln a

三角函数的导数

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

sin → cos；cos → −sin

对数函数的导数

(ln x)' = 1x, (log_a x)' = 1x ln a

ln 的导数为 1/x；log_a 还要除以 ln a

其余三角函数的导数

tan, sec

(tan x)' = sec²x, (sec x)' = sec x · tan x

(tan)' = sec²，(sec)' = sec·tan

cot, csc

(cot x)' = −csc²x, (csc x)' = −csc x · cot x

cot, csc 注意负号

💡 记忆诀窍

①sin → cos：正号

②cos → −sin：负号

③tan → sec²

④以 co- 开头的函数（cos, cot, csc）求导都带负号

例题演练

例题 1

对函数 y = e^x sin x 求导。

用乘积求导 (fg)′ = f′g + fg′，其中 f = e^x, g = sin x。

(e^x sin x)' = (e^x)' sin x + e^x (sin x)'

代入 (e^x)' = e^x, (sin x)' = cos x。

e^x sin x + e^x cos x = e^x(sin x + cos x)

▸ e^x(sin x + cos x)

指数函数求导后不变，含 e^x 的式子只需正确使用乘积求导即可。

例题 2

对函数 y = ln(cos x) 求导。

复合函数求导：对外层 ln u（u = cos x）求导，再乘内层导数。

y' = 1cos x · (cos x)'

代入 (cos x)′ = −sin x。

y' = -sin xcos x = -tan x

▸ -tan x

对数求导 (ln u)′ = u′/u。这里 cos x 的导数 −sin x 成为分子。

总结

核心导数公式

(eˣ)' = eˣ, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (ln x)' = 1/x

最常考的四大超越函数导数

高考类型变式

已知函数 f(x) = x ln x，求 f′(e) 的值。

①1

②2

③e

④e + 1

⑤2e

▸ ② 2

用乘积求导求 f′(x)。

f'(x) = ln x + x · 1x = ln x + 1

代入 x = e（ln e = 1）。

f'(e) = ln e + 1 = 1 + 1 = 2

🎯 考试要点

①(eˣ)' = eˣ：唯一不因求导改变的函数

②三角循环：sin → cos → −sin → −cos

③(ln x)' = 1/x：对数微分的基础

④(aˣ)' = aˣ ln a，a=e 时 ln e =1

⑤co- 类函数求导必带负号