级数

Series

级数就是把数列的各项从首项开始一项接一项地加起来所得到的东西。这个累加的总和会停在某个值上，还是无止境地变大，取决于各项缩小得有多快。若是等比级数，只有当公比的绝对值小于 1 时和才会汇聚到一点，否则就发散。拖动公比 r 与部分和项数 n，看看柱子是趋近某个收敛值，还是无穷无尽地飙升。

无限相加会怎样?

部分和项数8项

公比 r0.5

👀 直观观察

金色条形为部分和 Sₙ。|r|<1 时条形趋近红色虚线（收敛值），|r|≥1 时条形越来越大（发散）。

从项大小直觉感受

📦 面积比喻

①每个方块是一项 rᵏ

②|r|<1 时方块迅速变小，总面积有限

③|r|≥1 时方块不缩，总面积无穷

等比级数公式推导

部分和公式

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

首项 a、公比 r 的等比级数前 n 项之和

等比级数（无穷和）

a1 - r (|r| < 1)

n → ∞ 时 rⁿ → 0，部分和收敛到 a/(1−r)

💡 关键直观

①Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)、n→∞ 时 rⁿ→0

②故 S = a/(1−r)

③仅 |r|<1 成立!

收敛判别法

发散判别

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σa_n 发散

通项不趋 0，级数必发散

比较判别

0 ≤ a_n ≤ b_n : Σb_n 收敛 ⇒ Σa_n 收敛

更大者收敛则更小者也收敛

⚖️ 判别法比喻

①发散判别：通项不到 0 → 累加不减 → 发散

②比较判别：大者通过则小者亦通过

例题演练

例题 1

求无穷等比级数 Σ_n=1^∞ (2/3)ⁿ 的和。

确定首项 a 与公比 r。

a = 23, r = 23 (|r| < 1)

因 |r| < 1，用求和公式 S = a/(1−r)。

S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2

▸ 2

等比级数只要找准首项与公比，直接代入求和公式即可。

例题 2

判定级数 Σ_n=1^∞ n2n+1 的收敛与发散。

求和之前先考察通项的极限。

lim_n→∞ n2n+1 = 12

通项不为 0，由发散判别法可知级数发散。

lim a_n = 12 ≠ 0 ⇒ 发散

▸ 发散

计算和之前，先确认通项是否趋于 0；若不为 0 则立即发散。

总结

等比级数收敛条件

Σ_k=0^∞ ar^k = a1-r (|r| < 1)

首项 a、公比 r、|r|<1 时收敛

高考类型变式

首项 a、公比 r 的等比级数满足 Σ_n=1^∞ ar^n-1 = 9，Σ_n=1^∞ a² r^2(n-1) = 812，求 a 的值。

①4

②5

③6

④7

⑤8

▸ ③ 6

列出两个级数的和（第二个级数公比为 r²）。

a1-r = 9, a²1-r² = 812

代入 a = 9(1−r) 整理，即可确定 r 与 a。

1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6

🎯 考试要点

①等比：|r|<1 收敛、|r|≥1 发散

②无穷和：记 a/(1−r) 公式

③发散判别：lim aₙ ≠ 0 必发散

④以 Sₙ 的极限定义级数收敛

⑤比较：大者收敛则小者收敛