微积分›级数

级数

Series

无限相加会怎样?

部分和项数8项

公比 r0.5

👀 直观观察

金色条形为部分和 Sₙ。|r|<1 时条形趋近红色虚线（收敛值），|r|≥1 时条形越来越大（发散）。

从项大小直觉感受

📦 面积比喻

①每个方块是一项 rᵏ

②|r|<1 时方块迅速变小，总面积有限

③|r|≥1 时方块不缩，总面积无穷

等比级数公式推导

部分和公式

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

首项 a、公比 r 的等比级数前 n 项之和

等比级数（无穷和）

a1 - r (|r| < 1)

n → ∞ 时 rⁿ → 0，部分和收敛到 a/(1−r)

💡 关键直观

①Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)、n→∞ 时 rⁿ→0

②故 S = a/(1−r)

③仅 |r|<1 成立!

收敛判别法

发散判别

lim_n→∞ a_n ≠ 0 ⇒ Σa_n 发散

通项不趋 0，级数必发散

比较判别

0 ≤ a_n ≤ b_n : Σb_n 收敛 ⇒ Σa_n 收敛

更大者收敛则更小者也收敛

⚖️ 判别法比喻

①发散判别：通项不到 0 → 累加不减 → 发散

②比较判别：大者通过则小者亦通过

总结

等比级数收敛条件

Σ_k=0^∞ ar^k = a1-r (|r| < 1)

首项 a、公比 r、|r|<1 时收敛

🎯 考试要点

①等比：|r|<1 收敛、|r|≥1 发散

②无穷和：记 a/(1−r) 公式

③发散判别：lim aₙ ≠ 0 必发散

④以 Sₙ 的极限定义级数收敛

⑤比较：大者收敛则小者收敛