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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 级数

级数就是把数列的各项从首项起依次相加。 越加越多的和是稳定在某个值上，还是无限增大，取决于各项变小的速度有多快。 等比级数只有在公比的绝对值小于 1 时，和才会聚向一个值，否则就发散。 拖动公比 r 和相加的项数 n，可以看到部分和的柱子是逐渐接近虚线 1/(1 − r)，还是不断增大。

无限相加会怎样

8项
0.5
👀 从图中读出什么
①首项为 1 的等比级数中，第 n 根柱子是前 n 项的和 Sₙ
②|r| < 1 时，柱子逐渐接近红色虚线 1/(1 − r)。r = 0.5 时这个值是 2
③r 为负数时，柱子在虚线上下来回交替着接近；r ≥ 1 时，柱子无限增大，级数发散

从项的大小来判断

📦 用正方形看收敛
①一个正方形代表级数的一项，边长与这一项的大小 |r|ᵏ 成正比
②|r| < 1 时，正方形按相同比例不断缩小，全部加起来也只是一个有限的值
③|r| = 1 时大小不变，|r| > 1 时越来越大，所以和无限增大

等比级数的求和公式

部分和
Sn = a(1 - rn)1 - r (r ≠ 1)
首项为 a、公比为 r 的等比级数前 n 项的和
无穷等比级数的和
a1 - r (|r| < 1)
n → ∞ 时 rⁿ → 0，所以部分和收敛于 a/(1 − r)
💡 公式是怎么来的
①在 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r) 中，若 |r| < 1，则 n → ∞ 时 rⁿ → 0
②所以 S = a/(1 − r)
③在 rⁿ 不趋于 0 的 |r| ≥ 1 情形下，不能用这个公式

判断收敛与发散

用通项的极限判断
limn→∞ an ≠ 0 ⇒ Σan 发散
通项不收敛于 0，级数一定发散。反过来不成立：通项趋于 0，并不保证级数收敛
比较判别法
0 ≤ an ≤ bn : Σbn 收敛 ⇒ Σan 收敛
逐项较大的级数收敛，逐项较小的级数也收敛。换个说法，较小的级数发散，较大的级数也发散
⚖️ 判断时要想到的事
①通项不趋于 0，每加一次都至少累积一定的量，和就会无限增大
②像通项为 1/n 的级数，通项趋于 0，和却发散，所以只凭通项趋于 0 不能断定收敛
③各项非负的级数，和不会超过逐项更大的级数的和，所以较大的收敛，较小的也收敛

例题

例题 1
求无穷等比级数 Σn=1∞ (2/3)n 的和。
1
找出首项 a 和公比 r。
a = 23, r = 23 (|r| < 1)
2
因为 |r| < 1，代入求和公式 S = a/(1 − r)。
S = 2/31 - 2/3 = 2/31/3 = 2
▸ 2
等比级数只要找准首项和公比，就能直接代入求和公式。Σ 从 n = 1 开始，所以首项是 (2/3)¹。
例题 2
判定级数 Σn=1∞ n2n+1 的收敛与发散。
1
先不求和，而是考察通项的极限。
limn→∞ n2n+1 = 12
2
通项的极限不为 0，所以级数发散。
lim an = 12 ≠ 0 ⇒ 发散
▸ 发散
求和之前，先检查通项是否趋于 0。不趋于 0 就立即判定发散。

小结

等比级数的收敛条件
Σk=0∞ ark = a1-r (|r| < 1)
首项为 a、公比为 r 的等比级数，在 |r| < 1 时收敛于 a/(1 − r)
韩国高考类题改编
首项 a、公比 r 的等比级数满足 Σn=1∞ arn-1 = 9，Σn=1∞ a2 r2(n-1) = 812，求 a 的值。
①4
②5
③6
④7
⑤8
▸ ③ 6
1
把两个级数的和写成方程。第二个级数是首项为 a²、公比为 r² 的等比级数。
a1-r = 9, a21-r2 = 812
2
用第二个式子除以第一个式子的平方，得 (1 − r)/(1 + r) = 1/2，从而确定 r 和 a。
1-r1+r = 12 ⇒ r = 13, a = 6
🎯 考试要点
①等比级数（a ≠ 0）在 |r| < 1 时收敛，|r| ≥ 1 时发散
②无穷等比级数的和是 a/(1 − r)
③若 lim aₙ ≠ 0，级数发散
④级数的收敛用部分和 Sₙ 的极限来定义
⑤有的级数通项趋于 0 却不收敛
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