各种微分法

Differentiation Methods

看似复杂的函数，求导的路子其实归结为几件工具。函数里再套着函数，就用链式法则先对外求导再乘内层导数；y 缠在一起解不出来，就用隐函数求导直接对两边求导；曲线随时间参数 t 移动，就用参数求导。外表不同，本质都是把一个个小导数相乘或相除。拖动滑块移动 x，看看 sin(2x) 的切线斜率为何变成 2 倍，再增大参数 t，观察摆线如何被一点点画出来。

复合函数求导（链式法则）

x 位置1.5

🔗 链式比喻

①sin(2x)：外函数 sin、内函数 2x

②先对外求导（cos）→ 乘以内函数的导数（2）

③结果：2cos(2x) — 振幅看似变 2 倍的原因

链式法则

{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)

外函数的导数 × 内函数的导数

隐函数求导

x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy

把 y 当作 x 的函数对两边求导

🔄 隐函数求导核心

①即使写不出 y = f(x) 也能求导

②每出现 y 都要应用链式（dy/dx = y'）

③两边求导后对 y' 整理

参数方程求导

参数 t4

参数求导法

x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)

分别对 t 求导后做 dy/dt ÷ dx/dt

🎡 摆线

①滚动车轮上一点画出的曲线

②x = t − sin t, y = 1 − cos t

③红色切线斜率 = (sin t)/(1 − cos t)

对数求导法

对数求导

y = x^x → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = x^x(ln x + 1)

两边取自然对数后求导，复杂式变简洁

💡 何时使用

①底与指数都含变量（xˣ）

②乘除嵌套复杂

③取 ln 后积→和、商→差，更简单

例题演练

例题 1

对函数 y = (2x+1)⁵ 求导。

把外层看作 u⁵，内层 u = 2x+1，使用链式法则。

y = (2x+1)⁵, u = 2x+1

外层导数 5u⁴ 乘以内层导数 (2x+1)′ = 2。

y' = 5(2x+1)⁴ · 2 = 10(2x+1)⁴

▸ y' = 10(2x+1)⁴

链式法则即外层导数乘内层导数，切勿漏乘内层导数。

例题 2

求圆 x² + y² = 25 上点 (3, 4) 处切线的斜率。

对两边关于 x 求导（隐函数求导）。

2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy

代入点 (3, 4)。

y'|_(3,4) = -34

▸ -34

隐函数求导时，每对 y 求导一次就要乘 y′，最后再解出 y′。

总结

三大微分法

链式：f'·g' 隐：两边求导整理 y' 参数：g'(t)f'(t)

链式、隐函数、参数 — 三大核心

评价院类型变式

参数方程 x = t² + 1, y = t³ − t 表示的曲线，在 t = 2 处 dydx 的值是？

①94

②52

③114

④3

⑤134

▸ ③ 114

分别对 x、y 关于 t 求导，再代入 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)。

dydx = 3t² - 12t

代入 t = 2。

3(2)² - 12(2) = 114

🎯 考试要点

①链式：外×内 — 最常考

②隐函数：每见 y 别忘乘 y'

③参数：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

④对数微分：xˣ 形 → 取 ln 再求导

⑤综合题：链式 + 隐函数同时使用要小心