微积分›各种微分法

各种微分法

Differentiation Methods

复合函数求导（链式法则）

x 位置1.5

🔗 链式比喻

①sin(2x)：外函数 sin、内函数 2x

②先对外求导（cos）→ 乘以内函数的导数（2）

③结果：2cos(2x) — 振幅看似变 2 倍的原因

链式法则

{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)

外函数的导数 × 内函数的导数

隐函数求导

x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy

把 y 当作 x 的函数对两边求导

🔄 隐函数求导核心

①即使写不出 y = f(x) 也能求导

②每出现 y 都要应用链式（dy/dx = y'）

③两边求导后对 y' 整理

参数方程求导

参数 t4

参数求导法

x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)

分别对 t 求导后做 dy/dt ÷ dx/dt

🎡 摆线

①滚动车轮上一点画出的曲线

②x = t − sin t, y = 1 − cos t

③红色切线斜率 = (sin t)/(1 − cos t)

对数求导法

对数求导

y = x^x → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = x^x(ln x + 1)

两边取自然对数后求导，复杂式变简洁

💡 何时使用

①底与指数都含变量（xˣ）

②乘除嵌套复杂

③取 ln 后积→和、商→差，更简单

总结

三大微分法

链式：f'·g' 隐：两边求导整理 y' 参数：g'(t)f'(t)

链式、隐函数、参数 — 三大核心

🎯 考试要点

①链式：外×内 — 最常考

②隐函数：每见 y 别忘乘 y'

③参数：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

④对数微分：xˣ 形 → 取 ln 再求导

⑤综合题：链式 + 隐函数同时使用要小心