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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 各种微分法

函数看起来再复杂，求导的路子也只有几条。 函数里套着另一个函数时，用链式法则，先对外层求导，再乘上内层的导数；y 很难解成 x 的式子时，用隐函数求导，直接对等式两边求导；点的位置由参数 t 决定时，用 dy/dt 除以 dx/dt 得到斜率。 在第一幅图里拖动 x，sin 2x 上红色切线的斜率始终等于同一个 x 处蓝色曲线 2cos 2x 的高度。 第二幅图里车轮滚动画出摆线，还能看到切线总是经过车轮的最高点。

复合函数求导（链式法则）

1.5
🔗 内层导数 2 从哪里来
①sin 2x 是把内层函数 2x 代入外层函数 sin 得到的复合函数
②x 稍微增加时，2x 的增加量是它的两倍，而 sin 的值变化为这个增加量的 cos 2x 倍。所以导数是 cos 2x 乘以 2，即 2cos 2x
③金色曲线是把 sin x 横向压缩一半得到的，起伏快了一倍。蓝色曲线能到达 ±2，正是因为这个 2
链式法则
{f(g(x))}' = f'(g(x)) · g'(x)
外层函数的导数乘以内层函数的导数

隐函数求导

圆 x² + y² = r² 的隐函数求导
x² + y² = r² → 2x + 2y·y' = 0 → y' = −xy
把 y 看作 x 的函数，等式两边同时对 x 求导。由链式法则，y² 的导数是 2y · y′
🔄 隐函数求导的步骤
①不必先解出 y = f(x) 也能求导。像圆这样一个 x 对应两个 y 的曲线，每一点也都有斜率
②每对含 y 的项求一次导，就要乘上 y′
③两边求导后解出 y′。对圆来说 y′ = −x/y，它与半径的斜率 y/x 相乘得 −1，与切线垂直于半径的事实一致

参数方程所确定函数的导数

4
参数方程求导
x = f(t), y = g(t) → dydx = dy/dtdx/dt = g'(t)f'(t)
分别把 x 和 y 对 t 求导，再用 dy/dt 除以 dx/dt。只在 dx/dt ≠ 0 的地方适用
🎡 摆线的切线
①半径为 1 的车轮转过角 t 时，轮缘上的一点位于 x = t − sin t，y = 1 − cos t。图中横轴与纵轴比例相同，所以红点始终在蓝色车轮上
②由 dx/dt = 1 − cos t，dy/dt = sin t，切线斜率为 sin t / (1 − cos t)
③这条直线就是红点与车轮最高点 (t, 2) 的连线。无论把滑块拖到哪里，红色切线都经过白色小圆，原因就在这里
④在 t = 2π 这类 1 − cos t = 0 的地方，点碰到地面形成尖点，在它附近斜率的绝对值无限增大

对数求导法

对数求导法
y = xx → ln y = x ln x → y'/y = ln x + 1 → y' = xx(ln x + 1)
当 x > 0 时，对两边取自然对数，指数上的 x 就作为因子落下来，式子便可以求导。左边的 ln y 求导后，由链式法则得到 y′/y
💡 什么时候用
①底数和指数里都有变量时，比如 xˣ。幂函数和指数函数的求导公式都不能直接套用
②许多因子相乘相除、交织在一起时。取 ln 后，积变成和，商变成差
③求导之后，两边乘以 y，只留下 y′

例题

例题 1
求函数 y = (2x+1)5 的导数。
1
设内层 u = 2x + 1，则 y = u5。
y = u5, u = 2x + 1
2
外层的导数 5u4 乘以内层的导数 (2x + 1)′ = 2。
y′ = 5(2x+1)4 · 2 = 10(2x+1)4
▸ y′ = 10(2x+1)4
漏乘内层导数 2，就会得到常见的错误答案 5(2x+1)4。
例题 2
求圆 x2 + y2 = 25 在点 (3, 4) 处切线的斜率。
1
两边对 x 求导。y2 的导数是 2y · y′。
2x + 2y·y' = 0 ⇒ y' = -xy
2
代入点 (3, 4)。
y'|(3,4) = -34
▸ -34
到 (3, 4) 的半径斜率是 4/3，与切线斜率 −3/4 相乘得 −1。由切线垂直于半径这一事实，也能得到同样的答案。

小结

三种求导方法
链式：f'·g' 隐：两边求导整理 y' 参数：g'(t)f'(t)
链式法则、隐函数求导和参数方程求导，归根结底都是把微小的变化量相乘或相除
评价院模考类题改编
参数方程 x = t2 + 1, y = t3 − t 表示的曲线，在 t = 2 处 dydx 的值是？
①94
②52
③114
④3
⑤134
▸ ③ 114
1
分别对 t 求导，得 dx/dt = 2t，dy/dt = 3t2 − 1。
dydx = 3t2 - 12t
2
代入 t = 2，分子为 11，分母为 4。
3(2)2 - 12(2) = 114
🎯 考试要点
①链式法则出现得最多，最容易漏掉的是内层函数的导数
②隐函数求导时，每个含 y 的项都要乘上 y′
③参数方程求导用 dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)，dx/dt = 0 的点要单独考察
④xˣ 这类形式，先两边取对数再求导
⑤链式法则与隐函数求导结合的题目很常见
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