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高中三年级 (17-18岁)

等比级数的应用

Applications of Geometric Series

循环小数的真面目
🔁 循环小数就是无穷等比级数
①0.777… 即 7/10 + 7/100 + 7/1000 + …
②首项 7/10、公比 1/10 的无穷等比级数
③因 |1/10|<1 故收敛，其和即分数表示
例题 1
将循环小数 0.777… 表示为最简分数。
1
看作首项 7/10、公比 1/10 的无穷等比级数。
2
应用求和公式 S = a/(1−r)。
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
循环节一位则分母为 9，两位则 99 — 由等比级数自然得出。
循环小数 → 分数公式
循环小数化分数
0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99
循环节有几位，分母就放几个 9(一位 9，两位 99)
用图形看无限和
3
半分级数
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
首项 1/2、公比 1/2 — 和恰好为 1
🟧 一半的一半的一半…
①涂正方形的一半得 1/2
②再涂剩余的一半增加 1/4
③无限重复，涂色面积之和即整个正方形，也就是 1
相似图形的面积之和
例题 2
边长为 2 的正方形，连接各边中点作新正方形，如此无限重复，求所有正方形面积之和。
1
连接中点所得正方形的面积是前一个的 1/2(公比 1/2)。
2
首个正方形面积为 4，故 S = 4/(1−1/2)。
S = 41/2 = 8
▸ 8
相似比为 k 则面积比为 k² — 把公比取作面积比是关键。
总结
应用核心
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
循环小数、图形面积与长度之和都归结为找出首项 a 与公比 r 后代入
2021 教育厅学力评价数学类题改编
边长为 6 的正方形 S₁，连接各边中点作正方形 S₂，如此无限重复。所有正方形面积之和为?
①48
②60
③72
④96
⑤发散
▸ ③ 72
1
连接中点所得正方形面积为前一个的 1/2(公比 1/2)。
2
S₁ 面积 = 36，故 S = 36/(1−1/2)。
S = 361/2 = 72
🎯 考试要点
①循环小数是公比 1/10、1/100 的无穷等比级数
②循环节位数 = 分母中 9 的个数
③图形题由相似比得公比：面积比 k²、长度比 k
④准确把首项定为图形的"初始值"
⑤始终先验 |r|<1 再用 S=a/(1−r)
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