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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 等比级数的应用

这一单元来看无穷等比级数的求和公式在实际中用在哪里。 像 0.777… 这样同一个数字无限重复的循环小数，以及连接中点后越来越小的图形的面积总和，只要找出首项和公比，都能用 a/(1 − r) 算出来。 把正方形涂掉一半，再把剩下部分涂掉一半，无限重复下去，涂过的面积之和是 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1。 涂的块数越多，剩下的面积 1/2ᵏ 越小，Sₖ 也越接近 1，图中可以看到这个过程。

把循环小数化成分数

🔁 循环小数就是无穷等比级数
①0.777… 可以拆成 7/10 + 7/100 + 7/1000 + …
②这是首项为 7/10、公比为 1/10 的无穷等比级数
③因为 |1/10| < 1，级数收敛，它的和就是这个循环小数的分数形式
④用同样的方法计算 0.999…，得到 (9/10)/(1 − 1/10) = 1
例题 1
把循环小数 0.777… 化成最简分数。
1
看作首项为 7/10、公比为 1/10 的无穷等比级数。
2
代入求和公式 S = a/(1 − r)。
S = 7/101 - 1/10 = 7/109/10
▸ 7/9
循环节是一位时公比为 1/10，分母出现 9；两位时公比为 1/100，分母出现 99。

循环小数化分数的公式

循环小数的分数形式
0.aaa… = a/9 , 0.ababab… = (ab)/99
(ab) 表示两位数。循环节有几位，分母就写几个 9。例如 0.363636… = 36/99 = 4/11

用图形看无穷和

3
对半级数
12 + 14 + 18 + ⋯ = 1/21 - 1/2 = 1
首项 1/2，公比 1/2，所以和恰好是 1
🟧 一半的一半的一半
①把面积为 1 的正方形涂掉一半，得到 1/2
②再涂掉剩下部分的一半，加上 1/4，剩下的面积是 1/4
③涂了 k 块时，剩下的面积总是 1/2ᵏ，所以涂过的面积之和为 Sₖ = 1 − 1/2ᵏ
④k 无限增大时，剩下的面积趋于 0，所以和收敛到整个正方形，也就是 1

相似图形的面积和

例题 2
连接边长为 2 的正方形各边的中点，得到新的正方形，如此无限重复。求所有正方形的面积之和。
1
连接中点得到的正方形，边长是前一个的 1/√2 倍，所以面积是 1/2 倍，公比为 1/2。
2
第一个正方形的面积是 4，所以 S = 4/(1 − 1/2)。
S = 41/2 = 8
▸ 8
相似比为 k 时，面积比为 k²。题目问面积之和时，公比取面积比。

小结

应用要点
|r|<1 ⇒ S = a1 - r
无论是循环小数、图形面积还是长度之和，都是找出首项 a 和公比 r 后代入
2021 教育厅学力评价数学类题改编
连接边长为 6 的正方形 S₁ 各边的中点得到正方形 S₂，如此无限重复。所有正方形的面积之和是多少？
①48
②60
③72
④96
⑤发散
▸ ③ 72
1
连接中点得到的正方形面积是前一个的 1/2（公比 1/2）。
2
S₁ 的面积为 36，所以 S = 36/(1 − 1/2)。
S = 361/2 = 72
🎯 考试要点
①循环小数是公比为 1/10 或 1/100 的无穷等比级数
②循环节的位数就是分母中 9 的个数
③图形题由相似比 k 得出面积比 k²、长度比 k，以此确定公比
④首项要准确取第一个图形的值
⑤先确认 |r| < 1，再代入 S = a/(1 − r)
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