无穷等比级数

Infinite Geometric Series

无限地相加，似乎理所当然会变成无穷大，但其实未必如此。当公比小于 1 时，每次加进来的一块都比前一块更小，所以无论加多少都越不过某个天花板，反而收敛到它。这个天花板正是 a/(1−r)，也就是首项除以 1 减公比。拖动相加项数 n，看部分和的柱子一边长高，却始终越不过那条红色的极限线。

无限相加却有尽头?

相加项数 n4

👀 用眼睛看

①不断加项，柱子变长

②但若公比小于 1，每次加的量越来越小

③所以即使无限相加也不会越过某个值(红线)，而收敛于它

先建立部分和

等比数列的部分和

S_n = a(1 - rⁿ)1 - r (r ≠ 1)

首项 a、公比 r 的等比数列前 n 项之和

🧱 先求 n 项之和

①无穷级数之和定义为部分和 Sₙ 的极限

②先写等比数列部分和公式

③再令 n→∞ — 这个顺序是核心

取极限便得公式

无穷等比级数之和

S = a1 - r (|r| < 1)

首项 a、公比 r，仅当 |r|<1 时收敛，和为 a/(1−r)

收敛条件

收敛 ⇔ a = 0 或 |r| < 1

首项为 0，或公比绝对值小于 1

💨 rⁿ 消失

①若 |r|<1，则 n→∞ 时 rⁿ→0

②部分和式中的 rⁿ 项消失

③剩下的便是无穷等比级数求和公式

直接求一求

例题 1

求首项为 3、公比为 1/3 的无穷等比级数之和。

检查公比绝对值 — 因 |1/3|<1，故收敛。

将 a=3, r=1/3 代入 S = a/(1−r)。

S = 31 - 1/3 = 32/3

▸ S = 9/2

先确认 |r|<1 收敛再套公式的习惯可避免失误。

总结

核心结论

|r|<1 ⇒ ∑_n=1^∞ a r^n-1 = a1 - r

首项 a、公比 r 的无穷等比级数在 |r|<1 时收敛于 a/(1−r)

2023 评价院模考数学(微积分)类题改编

∑_n=1^∞ 2ⁿ3ⁿ 的值为?

①1

②3/2

③2

④5/2

⑤发散

▸ ③ 2

将通项看作 (2/3)ⁿ，则为首项 2/3、公比 2/3 的等比级数。

因 |2/3|<1，故 S = (2/3)/(1−2/3)。

S = 2/31/3 = 2

🎯 考试要点

①务必先检查 |r|<1 收敛条件

②和为 S=a/(1−r)，准确确定首项与公比

③注意 ∑arⁿ 与 ∑arⁿ⁻¹ 首项之别

④循环小数与图形求和最终也用此公式

⑤不收敛则和不存在