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高中三年级 (17-18岁)

高中数学 无穷等比级数

把无限多个数加起来，结果似乎也会无限大，其实不一定。 公比的绝对值小于 1 时，每个新加的项都比前一项按固定比例变小，所以无论加多少，总和都不会超过某个值，而是越来越接近它。 这个值就是首项 a 除以 1 − r 得到的 a/(1 − r)。 图中取 a = 1，r = 0.6；增加相加的项数 n，部分和的柱子不断变高，却始终越不过红线 2.5。

无限相加，也有尽头

4
👀 从图中读出什么
①柱子 Sₙ 是从首项到第 n 项的和，顶端的亮色部分是新加的项 0.6ⁿ⁻¹
②每个新加的部分是前一部分的 0.6 倍，所以柱子增长的幅度越来越小
③上方显示的剩余差距 2.5 − Sₙ 等于 2.5 × 0.6ⁿ，n 越大越接近 0。因此柱子越不过红线 2.5，并收敛到这个值

先写出部分和

等比数列的前 n 项和
Sn = a(1 - rn)1 - r (r ≠ 1)
首项为 a、公比为 r 的等比数列前 n 项的和
🧱 先求 n 项的和
①无穷级数的和定义为部分和 Sₙ 的极限
②先用等比数列的求和公式写出 Sₙ
③再求 n → ∞ 时的极限。按这个顺序做，就不会给不收敛的级数算出一个和

取极限就得到求和公式

无穷等比级数的和
S = a1 - r (|r| < 1)
首项 a ≠ 0、公比为 r 时，只有 |r| < 1 才收敛，和为 a/(1 − r)
收敛条件
收敛 ⇔ a = 0 或 |r| < 1
首项为 0 时每一项都是 0，无论公比是多少，和都是 0。a ≠ 0 时必须 |r| < 1
💨 rⁿ 消失了
①|r| < 1 时，n → ∞ 有 rⁿ → 0
②在部分和 a(1 − rⁿ)/(1 − r) 中 rⁿ 趋于 0，只剩下 a/(1 − r)
③|r| ≥ 1 时 rⁿ 不趋于 0，所以只要 a ≠ 0，级数就发散

动手求一求

例题 1
求首项为 3、公比为 1/3 的无穷等比级数的和。
1
先看公比的绝对值。|1/3| < 1，所以级数收敛。
2
把 a = 3，r = 1/3 代入求和公式 S = a/(1 − r)。
S = 31 - 1/3 = 32/3
▸ S = 9/2
先确认 |r| < 1 再用公式，这个习惯能避免出错。

小结

要点
|r|<1 ⇒ ∑n=1∞ a rn-1 = a1 - r
首项为 a、公比为 r 的无穷等比级数，在 |r| < 1 时收敛于 a/(1 − r)
2023 评价院模考数学（微积分）类题改编
∑n=1∞ 2n3n 的值为?
①1
②3/2
③2
④5/2
⑤发散
▸ ③ 2
1
把通项看作 (2/3)ⁿ，这是首项为 2/3、公比为 2/3 的等比级数。
2
因为 |2/3| < 1，S = (2/3)/(1 − 2/3)。
S = 2/31/3 = 2
🎯 考试要点
①用求和公式之前，先确认 |r| < 1
②求和公式是 S = a/(1 − r)，首项和公比要找准
③∑arⁿ 的首项是 ar，∑arⁿ⁻¹ 的首项是 a
④循环小数、图形面积之和，最后也用这个公式
⑤级数不收敛，和就不存在
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