도체계의 정전에너지

Electrostatic Energy

콘덴서에 전하를 모으는 일은 고무줄을 조금씩 당기는 것과 비슷해서, 처음에는 쉽지만 전위가 올라갈수록 점점 더 힘이 들어요. 전하를 0에서 Q까지 옮기는 동안 전위가 0에서 V까지 고르게 커지므로 평균 전위는 V의 절반이고, 그래서 저장된 에너지는 ½QV가 돼요. 같은 에너지를 ½CV²이나 Q²/(2C)로도 쓸 수 있는데 Q=CV로 서로 연결돼 있어서, 아는 값에 맞춰 편한 식을 고르면 돼요. 슬라이더로 전압과 용량, 전하를 바꿔 가며 세 공식이 언제나 같은 값을 주는지 확인해 봐요.

전하를 모으면 에너지가 저장된다

전압 V4V

정전용량 C3F

🔋 고무줄을 당기는 것과 같다

전하를 충전하는 것은 고무줄을 조금씩 당기는 것과 같다.

①처음에는 쉽지만(전위가 낮으니까), 점점 힘이 많이 든다

②총 저장 에너지 = 처음~끝까지 한 일의 합 = ½QV

정전에너지 유도

정전에너지 (적분 유도)

W = ∫₀^Q qC dq = Q²2C = 12QV = 12CV² [J]

정전에너지: 세 가지 등가 표현

전하·전위

W = 12QV

Q와 V를 모두 알 때

💡 왜 세 가지 형태가 있을까?

Q=CV 관계로 모두 연결된다. 알고 있는 변수에 따라 편한 공식을 선택

용량·전위

W = 12CV²

전압 일정(병렬) 조건

전하·용량

W = Q²2C

전하 일정(고립) 조건

💡 왜 ½이 붙을까?

전하를 0에서 Q까지 옮기는 동안 전위가 0에서 V까지 선형으로 증가한다.

①평균 전위 = V/2이므로 총 일 = Q × (V/2) = ½QV

②그래프로 보면 삼각형 넓이 = ½ × 밑변(Q) × 높이(V)

3가지 공식, 같은 에너지

전하 Q6C

정전용량 C3F

🎯 어떤 공식을 언제 쓸까?

½QV: Q와 V를 모두 알 때 (가장 범용)

①½CV²: 전압이 일정할 때 (병렬 콘덴서)

②Q²/(2C): 전하가 일정할 때 (고립된 도체, 직렬 콘덴서)

에너지 밀도와 정전흡인력

에너지 밀도

w = 12εE² = 12DE = D²2ε [J/m³]

단위 체적당 정전에너지. W = ∫w dv

정전흡인력

F = Q²2εS = 12εSV²d² [N]

평행판 콘덴서 판 사이에 작용하는 인력

⚡ 에너지에서 힘으로

정전에너지를 거리로 미분하면 힘이 나온다:

①F = −dW/dd (판 간격 d에 대한 미분)

②W = Q²/(2C) = Q²d/(2εS) → F = Q²/(2εS)

③에너지가 줄어드는 방향 = 인력 방향 (판이 당겨짐)

시험 포인트 정리

에너지 (QV)

W = 12QV

단일 도체

에너지 (CV²)

W = 12CV²

전압 기준

🔑 3공식 + 에너지 밀도

½QV, ½CV², Q²/(2C)는 같은 에너지의 다른 표현이고, 에너지 밀도는 공간 분포를 볼 때 사용

에너지 (Q²/C)

W = Q²2C

전하 기준

다도체계

W = 12ΣQ_iV_i

모든 도체 합산

에너지 밀도

w = 12εE² [J/m³]

체적 적분으로 전체 에너지: W = ∫w dv

🎯 시험 포인트

①½QV, ½CV², Q²/(2C) 세 공식은 Q=CV로 연결: 상황에 맞는 공식 선택

②V 일정 조건(병렬): W = ½CV² 사용 → C 변화 시 에너지 변화 계산

③Q 일정 조건(고립): W = Q²/(2C) 사용 → 판 간격 변화 문제

④에너지 밀도 w = ½εE²: 체적 적분으로 전체 에너지 계산

⑤정전흡인력: F = Q²/(2εS) 에너지 미분으로 유도

📝 대표 기출문제

①[기출유형] C=10μF, V=100V인 콘덴서의 정전에너지를 구하시오. (답: W=½CV²=0.05J)

②[기출유형] 평행판 콘덴서 판 사이 간격을 2배로 벌릴 때, 전하 일정 조건에서 에너지 변화를 구하시오. (답: C→C/2, W=Q²/2C→2배)

③[기출유형] 전계 E=1000V/m, 유전율 ε₀인 공간의 에너지 밀도를 구하시오. (답: w=½ε₀E²=4.43μJ/m³)