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전기기사 전기자기학 · 도체계의 정전에너지

Electrostatic Energy

콘덴서에 전하를 모으는 일은 처음에는 쉽지만, 이미 모인 전하가 밀어내는 탓에 전위가 오를수록 한 번 옮길 때 드는 일이 커져요. 전하를 0 에서 Q 까지 옮기는 동안 전위가 0 에서 V 까지 고르게 오르므로 평균 전위는 V 의 절반이고, 그래서 저장된 에너지는 ½QV 가 돼요. 같은 에너지를 ½CV² 나 Q²/2C 로도 쓸 수 있고 셋은 Q = CV 로 이어져 있으니, 아는 값에 맞춰 편한 식을 고르면 돼요. 첫 그림에서 전압과 용량 슬라이더를 움직이면 판 사이 금색이 짙어지거나 옅어지며 W 값이 바뀌고, 둘째 그림의 막대 세 개는 어떤 Q 와 C 에서도 높이가 같아요.

전하를 모으면 에너지가 쌓인다

4V
3F
🔋 전하를 모을수록 힘이 더 든다
①전하를 처음 옮길 때는 판의 전위가 낮아 드는 일이 적다
②전하가 쌓일수록 전위가 올라 같은 양을 옮기는 데 더 큰 일이 든다
③처음부터 끝까지 한 일을 모두 더한 것이 저장된 에너지 ½QV 다

정전에너지 이끌어 내기

정전에너지(적분으로 유도)
W = ∫0Q qC dq = Q22C = 12QV = 12CV2 [J]
같은 정전에너지를 세 가지로 쓸 수 있다
전하와 전위로
W = 12QV
Q 와 V 를 모두 알 때 쓴다
💡 왜 세 가지 꼴이 있을까
셋은 Q = CV 로 모두 이어진다. 알고 있는 값에 맞춰 편한 식을 고르면 돼요
용량과 전위로
W = 12CV2
전압이 일정한 조건(전원에 이어 둔 경우)에서 편하다
전하와 용량으로
W = Q22C
전하가 일정한 조건(전원에서 떼어 낸 경우)에서 편하다
💡 왜 ½ 이 붙을까
①전하를 0 에서 Q 까지 옮기는 동안 전위는 0 에서 V 까지 직선으로 오른다
②평균 전위가 V/2 이므로 한 일은 Q × V/2 = ½QV 다
③가로축 Q, 세로축 V 인 그래프에서 이 일은 직각삼각형의 넓이 ½ × Q × V 와 같아요

세 공식, 같은 에너지

6C
3F
🎯 어떤 식을 언제 쓸까
①½QV 는 Q 와 V 를 모두 알 때 쓰는 가장 일반적인 꼴이다
②½CV² 는 전압이 일정할 때 편하다(병렬 콘덴서, 전원에 이어 둔 콘덴서)
③Q²/2C 는 전하가 일정할 때 편하다(홀로 놓인 도체, 직렬 콘덴서)

에너지 밀도와 정전 흡인력

에너지 밀도
w = 12εE2 = 12DE = D22ε [J/m3]
단위 체적에 쌓인 정전에너지다. W = ∫w dv
정전 흡인력
F = Q22εS = 12εSV2d2 [N]
평행판 콘덴서의 두 판이 서로 당기는 힘이다
⚡ 에너지에서 힘으로
①정전에너지를 판 간격 d 로 미분하면 힘이 나온다: F = −dW/dd
②전하가 일정하면 W = Q²/2C = Q²d/2εS 이므로 크기는 F = Q²/2εS 다
③에너지가 줄어드는 쪽, 곧 간격이 좁아지는 쪽으로 힘이 걸려 두 판이 서로 당겨요

시험 포인트 정리

에너지(QV)
W = 12QV
도체 하나
에너지(CV²)
W = 12CV2
전압 기준
🔑 세 공식과 에너지 밀도
½QV, ½CV², Q²/2C 는 같은 에너지를 다르게 쓴 것이고, 에너지가 공간에 어떻게 퍼져 있는지 볼 때는 에너지 밀도를 쓴다
에너지(Q²/C)
W = Q22C
전하 기준
도체 여러 개
W = 12ΣQiVi
모든 도체에 대해 더한다
에너지 밀도
w = 12εE2 [J/m3]
체적 적분으로 전체 에너지를 얻는다: W = ∫w dv
🎯 시험 포인트
①½QV, ½CV², Q²/2C 는 Q = CV 로 이어지니 상황에 맞는 식을 고른다
②전압이 일정하면(병렬 · 전원 연결) W = ½CV² 로 C 가 바뀔 때의 에너지 변화를 셈한다
③전하가 일정하면(고립) W = Q²/2C 로 판 간격이 바뀌는 문제를 푼다
④에너지 밀도 w = ½εE² 를 체적 적분하면 전체 에너지가 된다
⑤정전 흡인력 F = Q²/2εS 는 에너지를 간격으로 미분해 얻으니, 유도 과정을 묻는 문제도 나와요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] C = 10 μF, V = 100 V 인 콘덴서의 정전에너지를 구하시오. (답: W = ½CV² = ½ × 10×10⁻⁶ × 100² = 0.05 J)
②[기출유형] 전하가 일정할 때 평행판 콘덴서의 판 간격을 두 배로 벌리면 에너지는 어떻게 되는가? (답: C 가 C/2 가 되므로 W = Q²/2C 는 두 배)
③[기출유형] 전계 E = 1000 V/m, 유전율 ε₀ 인 공간의 에너지 밀도를 구하시오. (답: w = ½ε₀E² ≈ 4.43 μJ/m³)
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