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전기기사 전기자기학 · 전위계수와 용량계수

Potential & Capacity Coefficients

도체가 여러 개 모여 있으면 한 도체의 전하가 제 전위만이 아니라 이웃 도체의 전위까지 바꿔 놓아요. 전위계수는 도체 j 의 전하가 도체 i 의 전위를 얼마나 올리는지를 나타내는 계수이고, 둘이 주고받는 영향은 서로 같다는 상반성이 있어요. 이 전위계수 행렬을 뒤집으면 전위에서 전하를 구하는 용량계수가 나오고, 여기서 접지 용량과 도체 사이 용량으로 이뤄진 등가 회로를 세울 수 있어요. 두 도체의 전하와 사이 거리를 바꾸면 그림의 두 원 아래 식 V₁ = p₁₁Q₁ + p₁₂Q₂ 처럼 한 도체의 전위에 두 전하가 함께 들어가는 관계를 읽을 수 있어요.

도체가 여럿이면 전위는 어떻게 정해지나

3Q
-2Q
3
🏠 이웃 도체의 영향
①도체 1 의 전하는 도체 1 의 전위만 올리는 것이 아니라 도체 2 의 전위도 올린다
②그래서 도체 1 의 전위 V₁ 에는 Q₁ 의 몫 p₁₁Q₁ 과 Q₂ 의 몫 p₁₂Q₂ 가 함께 들어간다
③p₁₂ 는 이 이웃 효과의 크기이고, 두 도체가 가까울수록 커져요

전위계수 [p]

전위계수의 정의
Vi = Σ pij Qj (j=1~n)
도체 i 의 전위는 각 도체 전하에 전위계수를 곱해 더한 값이다
두 도체의 행렬 꼴
[V₁, V₂]ᵀ = [p₁₁ p₁₂ ; p₂₁ p₂₂] · [Q₁, Q₂]ᵀ
두 도체계의 전위계수를 행렬로 쓴 것이다
💡 전위계수의 성질
①p_{ii} > 0: 제 전하는 제 전위를 높인다
②p_{ij} ≥ 0: 다른 도체의 전하도 전위를 높이거나, 정전 차폐되면 영향이 없다
③p_{ij} = p_{ji}: 두 도체가 주고받는 영향은 같다(상반성)
④p_{ii} ≥ p_{ij}: 제 영향이 이웃 영향보다 늘 크거나 같다

용량계수 [q]

용량계수의 정의
Qi = Σ qij Vj (j=1~n)
도체 i 의 전하는 각 도체 전위에 용량계수를 곱해 더한 값이다
역행렬 관계
[q] = [p]-1
용량계수 행렬은 전위계수 행렬의 역행렬이다
🔄 전위계수와 용량계수
①전위계수 [p] 는 전하 Q 에서 전위 V 를 구한다
②용량계수 [q] 는 거꾸로 전위 V 에서 전하 Q 를 구한다
③둘 다 상반성이 있다: p_{ij} = p_{ji}, q_{ij} = q_{ji}
④[p] 를 주고 [q] 를 구하게 하는 역행렬 문제가 자주 나와요

유도계수와 정전용량

접지 용량
Cii = Σ qij
j 에 대해 모두 더한다
도체 사이 용량
Cij = −qij (i≠j)
부호를 바꾼다
등가 회로
Qi = Ci0Vi + C12(V1 − V2)
접지 용량과 도체 사이 용량으로 나눈다
⚡ 등가 정전용량 회로
①두 도체계는 콘덴서 세 개로 바꿔 그릴 수 있다
②C₁₀ 은 도체 1 과 접지 사이 용량이다
③C₂₀ 은 도체 2 와 접지 사이 용량이다
④C₁₂ 는 두 도체 사이 용량이고, 이 등가 회로를 쓰면 도체계를 회로 문제처럼 풀 수 있어요

시험 포인트 정리

전위계수
Vi = Σ pijQj
Q → V
용량계수
Qi = Σ qijVj
V → Q
🔗 전위계수에서 용량계수로
전위계수 행렬의 역행렬이 용량계수이고, 용량계수에서 정전용량을 구해요
역행렬
[q] = [p]-1
핵심 관계
정전용량
Cij = −qij
부호를 바꾼다
🎯 시험 포인트
①전위계수 p_{ij} 는 0 이상이고 상반성 p_{ij} = p_{ji} 가 있다
②용량계수 q_{ii} > 0, 유도계수 q_{ij} ≤ 0(i ≠ j)으로 부호가 서로 달라요
③[q] = [p]⁻¹ 에서 2 × 2 역행렬 계산이 자주 나온다
④도체 i 와 접지 사이 용량은 C_{i0} = Σ_j q_{ij}, 도체 사이 용량은 C_{ij} = −q_{ij} 다
⑤유도계수가 음수라서 도체 사이 용량 C_{ij} 는 양수가 된다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 두 도체계의 전위계수가 p₁₁ = 4, p₁₂ = p₂₁ = 1, p₂₂ = 3 일 때 용량계수를 구하시오. (답: 행렬식 4 × 3 − 1 × 1 = 11 이므로 q₁₁ = 3/11, q₁₂ = q₂₁ = −1/11, q₂₂ = 4/11)
②[기출유형] 전위계수의 상반성 p_{ij} = p_{ji} 를 설명하시오. (답: 두 도체를 차례로 대전시킬 때 들어가는 에너지는 대전 순서와 상관없으므로, 순서를 바꿔 쓴 두 에너지 식이 같으려면 p_{ij} = p_{ji} 여야 한다)
③[기출유형] 용량계수로 도체 사이 정전용량 C₁₂ 를 구하시오. (답: C₁₂ = −q₁₂)
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