전위계수와 용량계수

Potential & Capacity Coefficients

도체가 여러 개 모여 있으면 한 도체의 전하가 자기 전위뿐 아니라 이웃 도체의 전위까지 바꿔 놓아요. 아파트에서 옆집이 히터를 켜면 우리 집도 따뜻해지는 것처럼, 이 이웃 효과의 크기를 나타내는 것이 전위계수예요. 전위계수는 서로 주고받는 영향이 대칭이라는 상반성을 가지고, 이 행렬을 뒤집으면 전위에서 전하를 구하는 용량계수가 나와요. 슬라이더로 두 도체의 전하와 사이 거리를 바꿔 가며 전위가 서로 어떻게 영향을 주는지 확인해 봐요.

여러 도체가 있으면 전위는?

도체1 전하 Q₁3Q

도체2 전하 Q₂-2Q

도체 간 거리3

🏠 이웃집 비유

아파트에서 옆집이 히터를 틀면 우리 집도 따뜻해진다.

①도체1의 전하(열원)가 도체2의 전위(온도)에도 영향을 주는 것과 같다

②전위계수 p₁₂는 이 '이웃 효과'의 크기를 나타낸다

전위계수 [p]

전위계수 정의

V_i = Σ p_ij Q_j (j=1~n)

도체 i의 전위 = 전위계수 × 각 도체 전하의 합

2도체 행렬

[V₁, V₂]ᵀ = [p₁₁ p₁₂ ; p₂₁ p₂₂] · [Q₁, Q₂]ᵀ

2도체계의 전위계수 행렬 표현

💡 전위계수의 성질

①p_{ii} > 0: 자기 자신의 전하는 자기 전위를 높인다

②p_{ij} > 0: 다른 도체의 전하도 양의 기여

③p_{ij} = p_{ji}: 상반성(reciprocity) 상호 영향은 대칭

④p_{ii} ≥ p_{ij}: 자기 영향이 항상 이웃 영향보다 크거나 같다

용량계수 [q]

용량계수 정의

Q_i = Σ q_ij V_j (j=1~n)

도체 i의 전하 = 용량계수 × 각 도체 전위의 합

역행렬 관계

[q] = [p]^-1

용량계수 행렬 = 전위계수 행렬의 역행렬

🔄 전위계수 vs 용량계수

전위계수 [p]: 전하 Q → 전위 V (원인 → 결과)

①용량계수 [q]: 전위 V → 전하 Q (결과 → 원인)

②둘 다 상반성을 가짐: p_{ij} = p_{ji}, q_{ij} = q_{ji}

③시험에서는 [p]에서 [q]로의 변환 문제가 출제 포인트!

유도계수와 정전용량

자기 정전용량

C_ii = Σ q_ij

j 전체 합

상호 정전용량

C_ij = −q_ij (i≠j)

부호 반전

등가 회로

Q_i = C_i0V_i + C₁₂(V₁ − V₂)

접지 용량 + 도체간 용량으로 분해

⚡ 등가 정전용량 회로

2도체계는 3개의 콘덴서로 등가 표현된다:

①C₁₀: 도체1과 접지 사이 (자기 용량)

②C₂₀: 도체2와 접지 사이 (자기 용량)

③C₁₂: 두 도체 사이 (상호 용량)

④이 등가회로로 복잡한 도체계를 회로 문제처럼 풀 수 있다!

시험 포인트 정리

전위계수

V_i = Σ p_ijQ_j

Q → V

용량계수

Q_i = Σ q_ijV_j

V → Q

🔗 전위계수 → 용량계수

전위계수 행렬의 역행렬이 용량계수이고, 여기서 정전용량을 구한다

역행렬

[q] = [p]^-1

핵심 관계

정전용량

C_ij = −q_ij

부호 반전

🎯 시험 포인트

①전위계수 p_{ij}는 항상 양수, 상반성 p_{ij} = p_{ji}

②용량계수 q_{ii} > 0, q_{ij} < 0 (i≠j): 부호 주의!

③[q] = [p]⁻¹ 관계에서 2×2 역행렬 계산 출제 포인트

④유도계수 s_{ij} = −q_{ij} (i≠j), s_{ii} = q_{ii} + Σq_{ij}

⑤등가 정전용량 회로에서 C_{ij} = −q_{ij}로 변환하는 과정 숙지

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 2도체계 전위계수 행렬 [p₁₁=4, p₁₂=1; p₂₁=1, p₂₂=3]일 때 용량계수 행렬을 구하시오. (답: [p]의 역행렬)

②[기출유형] 전위계수의 상반성(p_{ij}=p_{ji})을 증명하시오.

③[기출유형] 용량계수에서 등가 정전용량 C₁₂를 구하시오. (답: C₁₂=−q₁₂)