도체계의 전하 및 전위분포

Charge & Potential Distribution

금속 같은 도체 안에 전하를 넣으면 전하들은 서로 밀어내며 최대한 멀리 떨어지려고 표면으로 모두 이동해요. 그래서 도체 내부의 전계는 0이 되고, 도체 전체가 하나의 전위를 갖는 등전위가 돼요. 표면이 평평하면 전하가 고르게 퍼지지만, 뾰족한 곳에서는 전하가 몰려 전계가 강해지는데 이것이 피뢰침 끝을 뾰족하게 만드는 이유예요. 슬라이더로 전하량을 바꾸고 구형과 뾰족한 도체를 번갈아 눌러 표면 전하가 어떻게 분포하는지 살펴봐요.

도체 내부의 전하는 어디에?

전하량 Q3Q

🫧 풍선 위의 개미

양전하들은 서로 싫어하는 개미와 같다.

①풍선(도체) 안에 가두면, 개미들은 최대한 멀리 떨어지려고 표면으로 이동!

②구형이면 균일하게, 뾰족하면 뾰족한 곳에 몰린다.

도체의 핵심 성질 3가지

내부 전계

E = 0

도체 내부 전계는 항상 0 (정전 평형)

등전위

V = const

도체 전체가 하나의 전위를 가짐

표면 전하-전계

σ = ε₀ E_n

표면 전하밀도와 표면 법선방향 전계의 관계

💡 왜 내부 전계가 0일까?

만약 도체 내부에 전계가 있다면 → 자유전자가 힘을 받아 이동 → 전하 재배치 → 외부 전계를 상쇄

①이 과정이 전계가 완전히 0이 될 때까지 계속된다

②결과: 내부 E=0, 표면만 전하, 전체 등전위!

구도체의 전위·전계 분포

내부 전위

V = Q4πε₀ R (r ≤ R)

일정 (표면 전위와 같음)

외부 전위

V = Q4πε₀ r (r > R)

점전하와 동일

🔑 내부 vs 외부의 핵심 차이

내부는 E=0, V=일정이고, 외부는 점전하와 동일하게 1/r², 1/r로 감소한다

내부 전계

E = 0 (r < R)

내부 전계 없음

외부 전계

E = Q4πε₀ r² (r > R)

점전하와 동일

🎯 핵심 포인트

도체 외부에서 보면 점전하와 완전히 동일하게 행동한다!

①내부는 전계 0, 전위 일정

②외부는 마치 중심에 점전하가 있는 것처럼 1/r², 1/r로 감소

곡률과 전하 밀도의 관계

곡률-전하 관계

σ ∝ 1R

곡률반경이 작을수록 표면전하밀도가 큼

곡률-전계 관계

E = σε₀ ∝ 1R

뾰족한 곳일수록 전계가 강함 → 방전 발생

⚡ 피뢰침의 원리

피뢰침 끝이 뾰족한 이유!

①곡률이 큰 끝 부분에 전하가 집중 → 극히 강한 전계 발생

②공기의 절연이 파괴되어 코로나 방전 → 낙뢰를 유도하여 안전하게 접지

시험 포인트 정리

내부 전계

E = 0

도체 내부

등전위

V = const

도체 전체

⚡ 도체의 3대 성질

내부 전계=0, 전체 등전위, 전하는 표면에만: 이 세 가지가 가우스법칙에서 유도된다

표면 조건

σ = ε₀ E_n

표면전하밀도

곡률 효과

σ ∝ 1R

뾰족할수록 집중

🎯 시험 포인트

①도체 내부 E=0 → 전하는 표면에만 존재 → 가우스법칙으로 증명

②도체 전체가 등전위 → 표면도 등전위면 → 전기력선은 표면에 수직

③표면전하밀도 σ = ε₀E_n에서 E_n은 표면 바로 바깥의 법선 방향 전계

④곡률반경 R이 작을수록(뾰족할수록) σ가 크고 전계가 강함

⑤구도체의 외부 전위·전계는 점전하와 동일 → 시험에서 자주 비교 출제

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 도체구에 전하 Q를 줄 때, 표면전하밀도를 구하시오. (답: σ=Q/4πa²)

②[기출유형] 도체 내부 전계가 0인 이유를 설명하시오.

③[기출유형] 반지름 R₁, R₂(R₁<R₂)인 두 구도체를 가는 도선으로 연결할 때, 각 표면전하밀도의 비를 구하시오. (답: σ₁/σ₂=R₂/R₁)