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전기기사 전기자기학 · 도체계의 전하 및 전위분포

Charge & Potential Distribution

금속 같은 도체에 전하를 주면 전하끼리 서로 밀어내며 될 수 있는 한 멀리 떨어지려 해서, 결국 모두 표면으로 나가요. 그래서 도체 안의 전계는 0 이 되고, 도체 전체가 하나의 전위를 갖는 등전위체가 돼요. 표면이 고르게 둥글면 전하도 고르게 퍼지지만 뾰족한 곳에는 전하가 몰려 전계가 세지는데, 피뢰침 끝을 뾰족하게 만드는 까닭이 이것이에요. 전하량 슬라이더로 표면의 빨간 점 수가 바뀌고, 구형 도체와 뾰족한 도체 단추로 표면 전하가 고르게 퍼지는 모양과 끝에 몰리는 모양을 견줄 수 있어요.

도체에 준 전하는 어디로 가는가

3Q
🫧 전하가 표면으로 나가는 까닭
①같은 부호의 전하는 서로 밀어내므로 도체 안에서 될 수 있는 한 멀리 떨어지려 한다
②도체 안에서 가장 멀리 떨어질 수 있는 곳이 표면이라, 전하는 모두 표면으로 나간다
③구형이면 표면에 고르게 퍼지고, 뾰족한 도체는 양 끝에 빨간 점이 몰리고 위아래 평평한 옆면에는 성기다

도체의 핵심 성질 세 가지

내부 전계
E = 0
정전 평형에서 도체 안의 전계는 늘 0 이다
등전위
V = const
도체 전체가 하나의 전위를 갖는다
표면 전하와 전계
σ = ε0 En
표면 전하밀도와 표면에 수직인 전계의 관계다
💡 도체 안의 전계가 0 인 까닭
①도체 안에 전계가 있다면 자유전자가 힘을 받아 움직인다
②움직인 전하가 다시 자리를 잡으며 바깥 전계를 지운다
③이 과정은 안쪽 전계가 완전히 0 이 될 때까지 이어진다
④그 결과 안쪽 E = 0, 전하는 표면에만, 도체 전체는 등전위가 돼요

구도체의 전위와 전계 분포

안쪽 전위
V = Q4πε0 R (r ≤ R)
표면 전위와 같은 값으로 일정하다
바깥 전위
V = Q4πε0 r (r > R)
점전하와 같다
🔑 안과 밖의 차이
안쪽은 E = 0 이고 V 가 일정하며, 바깥은 점전하와 똑같이 E 는 1/r², V 는 1/r 로 줄어든다. 그래프에서 금색 V(r) 는 R 까지 평평하다가 줄고, 빨간 점선 E(r) 는 R 까지 0 이다가 R 에서 뛰어오른 뒤 줄어들어요
안쪽 전계
E = 0 (r < R)
안쪽에는 전계가 없다
바깥 전계
E = Q4πε0 r2 (r > R)
점전하와 같다
🎯 핵심
①도체구를 바깥에서 보면 중심에 점전하가 있는 것과 똑같이 행동한다
②안쪽은 전계 0, 전위 일정이다
③바깥은 중심의 점전하처럼 E 가 1/r², V 가 1/r 로 줄어든다

곡률과 전하 밀도의 관계

곡률과 전하 밀도
σ ∝ 1R
곡률 반지름이 작을수록 표면 전하밀도가 크다
곡률과 전계
E = σε0 ∝ 1R
뾰족한 곳일수록 전계가 세서 방전이 일어나기 쉽다
⚡ 피뢰침의 원리
①피뢰침 끝은 곡률 반지름이 아주 작아 전하가 몰리고 전계가 매우 세다
②그 둘레 공기의 절연이 깨지며 코로나 방전이 일어나고, 이것이 낙뢰를 피뢰침 쪽으로 끌어 접지로 안전하게 흘려보내요

시험 포인트 정리

내부 전계
E = 0
도체 안쪽
등전위
V = const
도체 전체
⚡ 도체의 세 가지 성질
안쪽 전계 0, 전체 등전위, 전하는 표면에만. 이 세 가지는 모두 가우스 법칙에서 나와요
표면 조건
σ = ε0 En
표면 전하밀도
곡률의 효과
σ ∝ 1R
뾰족할수록 몰린다
🎯 시험 포인트
①도체 안 E = 0 이므로 전하는 표면에만 있고, 이는 가우스 법칙으로 증명한다
②도체 전체가 등전위이니 표면도 등전위면이고, 전기력선은 표면에 수직이다
③σ = ε₀E_n 의 E_n 은 표면 바로 바깥에서 법선 방향 전계다
④곡률 반지름 R 이 작을수록(뾰족할수록) σ 가 크고 전계가 세다
⑤구도체의 바깥 전위 · 전계는 점전하와 같아서, 둘을 견주는 문제가 자주 나와요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 반지름 a 인 도체구에 전하 Q 를 줄 때 표면 전하밀도를 구하시오. (답: σ = Q/4πa²)
②[기출유형] 도체 안의 전계가 0 인 까닭을 설명하시오. (답: 전계가 있으면 자유전자가 움직여 전계를 지우는 쪽으로 다시 배치되고, 정전 평형에서는 이 움직임이 멈춰 E = 0 이다)
③[기출유형] 반지름 R₁, R₂(R₁ < R₂)인 두 구도체를 가는 도선으로 이을 때 표면 전하밀도의 비를 구하시오. (답: 두 구의 전위가 같아 Q₁/R₁ = Q₂/R₂ 이므로 σ₁/σ₂ = R₂/R₁)
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