좌표계 변환

Coordinate Systems

공간의 한 점을 나타내는 방법에는 직교, 원통, 구 이렇게 세 가지가 있어요. 어떤 좌표계를 고르느냐에 따라 같은 문제가 쉬워지기도 하고 어려워지기도 하는데, 평판은 직교, 동축 케이블은 원통, 점전하는 구가 잘 어울려요. 좌표 변환을 알면 미소길이와 미소체적이 자연스럽게 따라 나오고, 원통에 ρ가, 구에 r²sinθ가 붙는 이유도 그림으로 이해할 수 있어요. 슬라이더로 반지름과 각도를 돌려 가며 점 P가 원기둥과 구 위를 어떻게 움직이는지 확인해 봐요.

왜 좌표계가 3개인가

🤔 같은 점 P, 세 가지 표현

공간의 한 점 P를 표현하는 방법이 3가지 있다. 직교좌표는 상자 모서리를 따라가고, 원통좌표는 원기둥으로 감싸고, 구좌표는 공으로 감싼다. 어떤 좌표계를 쓰느냐에 따라 같은 문제의 난이도가 완전히 달라진다.

⚡ 전자기학에서의 선택 기준

①평판 콘덴서 → 직교좌표 (x, y, z)

②무한 직선 전류, 동축 케이블 → 원통좌표 (ρ, φ, z)

③점전하, 구형 도체 → 구좌표 (r, θ, φ)

직교 좌표계 (Cartesian)

📦 직교 좌표계

가장 익숙한 x, y, z 좌표. 세 축이 모두 직선이고 서로 수직이다. 단위벡터 x̂, ŷ, ẑ는 어디서나 같은 방향을 가리킨다. 이것이 직교좌표의 특별한 점이다.

위치벡터

r = x·x̂ + y·ŷ + z·ẑ

미소 길이: dl = dx·x̂ + dy·ŷ + dz·ẑ

미소체적

dv = dx · dy · dz

미소 면적: dS = dy·dz (yz면), dx·dz (xz면), dx·dy (xy면)

💡 핵심 특징

직교좌표에서는 단위벡터가 위치에 무관하게 일정하다. 그래서 벡터의 미분이 간단하다. 하지만 원형 대칭 문제에서는 식이 복잡해진다. 그래서 원통/구 좌표가 필요하다.

원통 좌표계 (Cylindrical)

ρ (수평 거리)2.5

φ (회전각)50°

z (높이)2

🔧 원통좌표 = 극좌표 + z

xy 평면에서의 극좌표(ρ, φ)에 높이 z를 더한 것이다. ρ는 z축까지의 수평 거리, φ는 x축에서 반시계 방향 회전각이다. 슬라이더로 φ를 돌려보면 점 P가 원기둥 위를 따라 돈다.

원통 → 직교 변환

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z

역변환: ρ = √(x²+y²), φ = tan⁻¹(yx)

원통 미소길이

dl = dρ·ρ̂ + ρdφ·φ̂ + dz·ẑ

φ방향 미소길이가 ρdφ인 이유: 반지름이 클수록 호 길이가 길어짐

원통 미소체적

dv = ρ · dρ · dφ · dz

미소면적: dS = ρdφ·dz (ρ면), dρ·dz (φ면), ρdρ·dφ (z면)

구 좌표계 (Spherical)

r (원점 거리)3

θ (z축 기울기)45°

φ (회전각)50°

🌍 구좌표 = 지구의 좌표

r은 원점까지 거리(반지름), θ는 북극(z축)에서 기울어진 각도(위도의 여각), φ는 경도(회전각)다. θ를 0°로 놓으면 북극, 90°면 적도, 180°이면 남극이다.

구 → 직교 변환

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ

역변환: r = √(x²+y²+z²), θ = cos⁻¹(zr), φ = tan⁻¹(yx)

구 미소길이

dl = dr·r̂ + rdθ·θ̂ + rsinθdφ·φ̂

θ방향은 rdθ, φ방향은 rsinθdφ: 적도에서 멀수록 원둘레가 줄어듦

구 미소체적

dv = r²sinθ · dr · dθ · dφ

구 미소면적: dS = r²sinθ·dθ·dφ (r면), rsinθ·dr·dφ (θ면), r·dr·dθ (φ면)

시험 포인트 정리

원통 → 직교

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z

원통 좌표계 변환

구 → 직교

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ

구 좌표계 변환

원통 미소체적

ρ dρ dφ dz

ρ가 곱해짐

🔗 변환 공식 → 미소체적 → 미소길이

좌표 변환을 알면 미소체적·미소길이가 자연스럽게 유도된다

구 미소체적

r²sinθ dr dθ dφ

r²sinθ가 곱해짐

원통 미소길이

dl: dρ, ρdφ, dz

φ방향에 ρ가 곱해짐

구 미소길이

dl: dr, rdθ, rsinθdφ

θ에 r, φ에 rsinθ

🎯 시험 포인트

①좌표계 선택이 반은 맞힌 것이다. 대칭성을 보고 판단

②원통좌표 미소체적에 ρ가, 구좌표에 r²sinθ가 붙는 이유를 이해해야 한다

③φ의 의미: 원통·구 모두 xy 회전각 (같음). θ는 구좌표에서만 등장

④변환 공식은 외우지 말고 그림을 그려서 유도: 직각삼각형 2개면 끝

⑤미소길이 dl의 각 성분이 적분 문제에서 핵심: 특히 가우스 법칙, 앙페르 법칙에서 사용

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 원통좌표 (3, π/4, 5)를 직교좌표로 변환하시오. (답: x=3cos45°=3√2/2, y=3sin45°=3√2/2, z=5)

②[기출유형] 직교좌표 (1, 1, √2)를 구좌표로 변환하시오. (답: r=2, θ=45°, φ=45°)

③[기출유형] 구좌표에서 미소체적 dv를 구하시오. (답: r²sinθ·dr·dθ·dφ)