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전기기사 전기자기학 · 좌표계 변환

Coordinate Systems

공간의 한 점을 나타내는 방법에는 직교 · 원통 · 구 좌표계 세 가지가 있어요. 같은 문제라도 좌표계를 잘 고르면 식이 훨씬 짧아지는데, 평행판은 직교, 직선 전류와 동축 케이블은 원통, 점전하와 구 도체는 구 좌표계가 잘 맞아요. 변환식에서 미소길이와 미소체적이 나오고, 원통에는 ρ 가, 구에는 r²sinθ 가 곱해지는 까닭도 그림으로 따라갈 수 있어요. 원통 그림과 구 그림에서 반지름 · 각도 · 높이 슬라이더를 움직이면 점 P 가 옮겨 가고, 그림 아래에 그 점의 직교 좌표 x · y · z 가 적혀요.

좌표계는 왜 세 가지인가

🤔 같은 점 P 를 세 가지로 나타내기
왼쪽 그림은 상자의 모서리를 따라 x, y, z 만큼 걸어가 P 에 닿고, 가운데 그림은 z축에서 거리 ρ 인 원(원기둥의 바닥) 위에서 높이 z 로 올라가 P 에 닿는다. 오른쪽 그림의 두 초록 원은 원점에서 거리 r 인 구면 위의 큰 원이고, P 는 그 구면 위에 있다. 어느 좌표계를 쓰느냐에 따라 같은 문제의 계산량이 크게 달라진다.
⚡ 문제에 맞는 좌표계 고르기
①평행판 콘덴서처럼 평면이 기준인 문제는 직교좌표(x, y, z)
②무한 직선 전류나 동축 케이블처럼 축이 기준인 문제는 원통좌표(ρ, φ, z)
③점전하나 구 도체처럼 한 점이 기준인 문제는 구좌표(r, θ, φ)

직교 좌표계(Cartesian)

📦 직교 좌표계
가장 익숙한 x, y, z 좌표다. 세 축이 모두 직선이고 서로 수직이며, 단위벡터 x̂, ŷ, ẑ 는 공간 어디에서나 같은 방향을 가리킨다. 원통 · 구 좌표의 단위벡터는 점마다 방향이 바뀌니, 이 점이 직교좌표만의 특징이에요.
위치벡터
r = x·x̂ + y·ŷ + z·ẑ
미소길이는 dl = dx·x̂ + dy·ŷ + dz·ẑ 다
미소체적
dv = dx · dy · dz
미소면적은 dS = dy·dz(yz 면), dx·dz(xz 면), dx·dy(xy 면)이다
💡 직교좌표의 장단점
단위벡터가 위치와 상관없이 일정하니 벡터를 미분할 때 단위벡터를 따로 미분할 필요가 없다. 대신 원이나 구처럼 대칭인 모양을 x, y, z 로 쓰면 식이 길어져서, 그런 문제에는 원통 · 구 좌표를 꺼내요.

원통 좌표계(Cylindrical)

2.5
50°
2
🔧 원통좌표는 극좌표에 높이 z 를 더한 것
xy 평면의 극좌표(ρ, φ)에 높이 z 를 더한 좌표다. 금색 화살표 ρ 는 z축에서 P 의 발끝까지 수평 거리이고, φ 는 x축에서 시계 반대 방향으로 잰 각, 파란 점선은 높이 z 다. φ 슬라이더를 돌리면 P 는 높이를 지킨 채 반지름 ρ 인 원기둥 둘레를 돈다.
원통 → 직교 변환
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z
거꾸로 바꾸면 ρ = √(x²+y²), φ = tan⁻¹(yx)
원통 미소길이
dl = dρ·ρ̂ + ρdφ·φ̂ + dz·ẑ
φ 방향 미소길이가 ρdφ 인 까닭은 같은 dφ 라도 반지름이 클수록 호가 길어지기 때문이다
원통 미소체적
dv = ρ · dρ · dφ · dz
미소면적은 dS = ρdφ·dz(ρ 면), dρ·dz(φ 면), ρdρ·dφ(z 면)이다

구 좌표계(Spherical)

3
45°
50°
🌍 구좌표는 지구의 위도 · 경도와 닮았다
r 은 원점에서 P 까지 거리, θ 는 z축(북극 쪽)에서 기운 각으로 위도의 여각, φ 는 경도에 해당하는 회전각이다. 그림의 빨간 호가 θ, 파란 호가 φ 이고, θ 를 0° 에 두면 P 가 북극에, 90° 에 두면 적도(초록 원) 위에, 180° 에 두면 남극에 놓여요.
구 → 직교 변환
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ
거꾸로 바꾸면 r = √(x²+y²+z²), θ = cos⁻¹(zr), φ = tan⁻¹(yx)
구 미소길이
dl = dr·r̂ + rdθ·θ̂ + rsinθdφ·φ̂
θ 방향은 rdθ, φ 방향은 rsinθdφ 다. P 가 극에 가까울수록 위도선의 반지름 rsinθ 가 줄어든다
구 미소체적
dv = r²sinθ · dr · dθ · dφ
미소면적은 dS = r²sinθ·dθ·dφ(r 면), rsinθ·dr·dφ(θ 면), r·dr·dθ(φ 면)이다

시험 포인트 정리

원통 → 직교
x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z
원통좌표를 직교좌표로 바꾸는 식
구 → 직교
x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ
구좌표를 직교좌표로 바꾸는 식
원통 미소체적
ρ dρ dφ dz
ρ 가 곱해진다
🔗 변환식에서 미소체적 · 미소길이로
변환식을 그림으로 이해해 두면 미소길이와 미소체적은 따로 외우지 않아도 따라 나온다
구 미소체적
r²sinθ dr dθ dφ
r²sinθ 가 곱해진다
원통 미소길이
dl: dρ, ρdφ, dz
φ 방향에 ρ 가 곱해진다
구 미소길이
dl: dr, rdθ, rsinθdφ
θ 방향에 r, φ 방향에 rsinθ 가 곱해진다
🎯 시험 포인트
①대칭을 보고 좌표계를 고르면 문제의 절반은 풀린 셈이다
②원통 미소체적에 ρ 가, 구 미소체적에 r²sinθ 가 붙는 까닭을 그림으로 설명할 수 있어야 해요
③φ 는 원통 · 구 모두 xy 평면의 회전각으로 뜻이 같고, θ 는 구좌표에만 나온다
④변환식은 외우기보다 직각삼각형 두 개를 그려 유도하는 편이 빠르다
⑤미소길이 dl 의 성분은 가우스 법칙 · 앙페르 법칙의 적분에서 바로 쓰여요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 원통좌표 (3, π/4, 5) 를 직교좌표로 바꾸시오. (답: x = 3cos45° = 3√2/2, y = 3sin45° = 3√2/2, z = 5)
②[기출유형] 직교좌표 (1, 1, √2) 를 구좌표로 바꾸시오. (답: r = √(1 + 1 + 2) = 2, θ = cos⁻¹(√2/2) = 45°, φ = tan⁻¹1 = 45°)
③[기출유형] 구좌표에서 미소체적 dv 를 쓰시오. (답: r²sinθ·dr·dθ·dφ)
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발산·회전·기울기

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