발산·회전·기울기

Divergence · Curl · Gradient

미분을 벡터로 묶은 ∇(나블라) 하나로 전자기학의 장을 세 가지 방식으로 읽어낼 수 있어요. 스칼라에 붙이면 기울기가 되어 가장 가파른 오르막 방향을 가리키고, 벡터에 내적하면 발산이 되어 한 점에서 뿜어나오거나 빨려드는 정도를 재요. 벡터에 외적하면 회전이 되어 그 자리에서 얼마나 소용돌이치는지를 나타내는데, 발산은 가우스 법칙, 회전은 앙페르 법칙으로 이어져요. 슬라이더로 관측점과 장의 세기를 바꿔 가며 기울기 화살표, 발산의 소스와 싱크, 회전의 방향이 어떻게 변하는지 살펴봐요.

∇ (나블라) 연산자

나블라 연산자

∇ = ∂∂xx̂ + ∂∂yŷ + ∂∂zẑ

미분을 벡터로 포장한 것: 3가지 방식으로 작용한다

∇V

기울기

스칼라→벡터

∇·F

발산

벡터→스칼라

∇×F

회전

벡터→벡터

🔧 ∇는 만능 도구

같은 ∇인데, 스칼라에 붙이면 기울기(grad), 벡터에 내적(·)하면 발산(div), 벡터에 외적(×)하면 회전(curl)이 된다. 입력과 연산 방식에 따라 결과가 달라진다.

기울기 (Gradient)

P의 x좌표2

P의 y좌표1.5

🏔️ 기울기 = 가장 가파른 오르막 방향

등고선(노란 원)이 스칼라장 V의 높이를 나타낸다. 초록 화살표 ∇V는 V가 가장 빠르게 증가하는 방향(산꼭대기 쪽)을 가리킨다. P를 움직여보면, 항상 등고선에 수직인 방향을 향한다.

기울기 (직교좌표)

∇V = ∂V∂xx̂ + ∂V∂yŷ + ∂V∂zẑ

스칼라장 → 벡터장 (방향: 최대 증가, 크기: 변화율)

전계와 전위

E = −∇V

전계는 전위가 떨어지는 방향(내리막). 마이너스가 핵심!

발산 (Divergence)

발산 세기2

💨 발산 = 뿜어나오는 정도

양수면 소스(뿜어냄 → 빨강), 음수면 싱크(빨아들임 → 파랑)이다. 슬라이더를 0으로 놓으면 화살표가 사라진다. 뿜어나오지도, 빨아들이지도 않는 상태. 가우스 법칙의 핵심이 바로 이것이다.

발산 (직교좌표)

∇·F = ∂F_x∂x + ∂F_y∂y + ∂F_z∂z

벡터장 → 스칼라 (각 성분의 변화율 합)

가우스 법칙 (미분형)

∇·D = ρ_v

전속밀도의 발산 = 전하밀도. 전하가 있는 곳에서 전기력선이 뿜어나온다

회전 (Curl)

회전 세기2

🌀 회전 = 소용돌이 정도

작은 바람개비를 벡터장 속에 놓으면 돌아가는가? 양수면 반시계(z축 양), 음수면 시계(z축 음). 회전이 0이면 바람개비가 안 돈다. 보존장(전계 등)의 특성이다.

회전 (행렬식)

∇×F = |x̂ ŷ ẑ; ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z; F_x F_y F_z|

벡터장 → 벡터 (3×3 행렬식으로 전개)

앙페르 법칙 (미분형)

∇×H = J

전류가 흐르는 곳 주위에서 자계가 소용돌이친다

시험 포인트 정리

기울기

∇V → vec

스칼라의 최대 증가 방향 | E = −∇V

발산

∇·F → scalar

뿜어나오는 정도 | ∇·D = ρ_v

🔑 grad·div·curl 직관

기울기는 방향, 발산은 퍼짐, 회전은 소용돌이: 물리적 의미를 먼저 기억

회전

∇×F → vec

소용돌이치는 정도 | ∇×H = J

벡터 항등식 (암기 필수)

∇×(∇V) = 0, ∇·(∇×F) = 0

기울기의 회전은 항상 0 | 회전의 발산은 항상 0

라플라시안

∇²V = ∇·(∇V)

발산(기울기(V)) = 2차 미분. 포아송·라플라스 방정식에 사용

🎯 시험 포인트

①∇V는 등전위면에 수직, E = −∇V 방향은 전위 감소 방향

②∇·D = ρ_v : 전하가 없으면 발산 = 0

③∇×E = 0 (정전계): 정전계는 회전이 없다 = 보존장

④∇×H = J : 전류 주위에 자계 회전

⑤항등식: ∇×(∇V) ≡ 0, ∇·(∇×F) ≡ 0. 이것이 왜 중요한가? 정전계가 보존장인 근거

📝 대표 기출문제

①[기출유형] V = x²y + yz 일 때 ∇V를 구하시오. (답: 2xy·x̂ + (x²+z)·ŷ + y·ẑ)

②[기출유형] F = xy·x̂ + yz·ŷ + zx·ẑ 일 때 ∇·F를 구하시오. (답: y+z+x)

③[기출유형] 정전계에서 ∇×E = 0임을 이용하여 E = −∇V가 성립하는 이유를 설명하시오.