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전기기사 전기자기학 · 발산·회전·기울기

Divergence · Curl · Gradient

편미분 세 개를 벡터 꼴로 묶은 ∇(나블라) 하나로 장을 세 가지 방식으로 읽을 수 있어요. 스칼라에 붙이면 기울기가 되어 가장 가파르게 오르는 방향을 가리키고, 벡터와 내적하면 발산이 되어 한 점에서 뿜어 나오거나 빨려 드는 정도를 재요. 벡터와 외적하면 회전이 되어 그 자리에서 소용돌이치는 정도를 나타내고, 발산은 가우스 법칙으로, 회전은 앙페르 법칙으로 이어져요. 점 P 를 옮기면 기울기 화살표의 방향이, 발산 세기와 회전 세기 슬라이더를 움직이면 화살표 무리의 퍼짐과 소용돌이 방향이 바뀌어요.

∇(나블라) 연산자

나블라 연산자
∇ = ∂∂xx̂ + ∂∂yŷ + ∂∂zẑ
편미분을 벡터 꼴로 묶은 연산자이고, 무엇에 어떻게 작용하느냐에 따라 세 가지 결과가 나온다
∇V
기울기
스칼라 → 벡터
∇·F
발산
벡터 → 스칼라
∇×F
회전
벡터 → 벡터
🔧 하나의 ∇, 세 가지 쓰임
같은 ∇ 라도 스칼라에 붙이면 기울기(grad), 벡터와 내적(·)하면 발산(div), 벡터와 외적(×)하면 회전(curl)이 된다. 무엇에 작용하느냐와 어떤 곱으로 붙느냐가 결과의 꼴을 정해요.

기울기(Gradient)

2
1.5
🏔️ 기울기는 가장 가파른 오르막 방향
노란 원은 V 가 같은 점을 이은 등고선이고, 가운데 점이 V 가 가장 큰 꼭대기다. 초록 화살표 ∇V 는 P 에서 V 가 가장 빨리 커지는 쪽, 곧 꼭대기 쪽을 가리킨다. P 를 어디로 옮기든 화살표는 그 자리의 등고선에 수직이고, 꼭대기에서 멀수록 비탈이 가팔라 화살표가 길어져요.
기울기(직교좌표)
∇V = ∂V∂xx̂ + ∂V∂yŷ + ∂V∂zẑ
스칼라장에서 벡터장을 만든다. 방향은 가장 빨리 커지는 쪽, 크기는 그 변화율이다
전계와 전위
E = −∇V
전계는 전위가 떨어지는 내리막 쪽을 가리킨다. 그래서 식에 마이너스가 붙는다

발산(Divergence)

2
💨 발산은 뿜어 나오는 정도
발산 세기를 양수로 두면 화살표가 가운데에서 바깥으로 뻗는 빨간 소스, 음수로 두면 바깥에서 가운데로 모이는 파란 싱크가 된다. 0 에 두면 화살표가 사라지는데, 뿜어 나오지도 빨려 들지도 않는 상태다. 가우스 법칙 ∇·D = ρ_v 가 바로 이 그림을 식으로 쓴 것이에요.
발산(직교좌표)
∇·F = ∂Fx∂x + ∂Fy∂y + ∂Fz∂z
벡터장에서 스칼라를 만든다. 각 성분이 제 방향으로 변하는 비율의 합이다
가우스 법칙(미분형)
∇·D = ρv
전속밀도의 발산이 전하밀도와 같다. 전하가 있는 곳에서 전기력선이 뿜어 나온다

회전(Curl)

2
🌀 회전은 소용돌이치는 정도
벡터장 속에 작은 바람개비를 놓았을 때 도는지를 떠올리면 된다. 회전 세기를 양수로 두면 초록 화살표가 반시계로 돌고 가운데 표시가 ⊙(z축 양의 방향)이 되며, 음수로 두면 시계 방향과 ⊗ 로 바뀐다. 회전이 0 인 장에서는 바람개비가 돌지 않는데, 정전계 같은 보존장이 그렇다.
회전(행렬식)
∇×F = |x̂ ŷ ẑ; ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z; Fx Fy Fz|
벡터장에서 벡터를 만든다. 3×3 행렬식으로 전개한다
앙페르 법칙(미분형)
∇×H = J
전류가 흐르는 곳을 둘러싸고 자계가 소용돌이친다

시험 포인트 정리

기울기
∇V → vec
스칼라가 가장 빨리 커지는 방향 | E = −∇V
발산
∇·F → scalar
뿜어 나오는 정도 | ∇·D = ρv
🔑 grad · div · curl 의 뜻
기울기는 방향, 발산은 퍼짐, 회전은 소용돌이다. 식보다 이 물리적 뜻을 먼저 잡아 두면 공식이 쉽게 따라와요
회전
∇×F → vec
소용돌이치는 정도 | ∇×H = J
벡터 항등식(꼭 외울 것)
∇×(∇V) = 0, ∇·(∇×F) = 0
기울기의 회전은 늘 0 | 회전의 발산은 늘 0
라플라시안
∇²V = ∇·(∇V)
기울기의 발산, 곧 2차 미분이다. 포아송 · 라플라스 방정식에 쓰인다
🎯 시험 포인트
①∇V 는 등전위면에 수직이고, E = −∇V 는 전위가 낮아지는 쪽을 가리킨다
②∇·D = ρ_v 이므로 전하가 없는 곳에서는 발산이 0 이다
③정전계는 ∇×E = 0 으로 회전이 없는 보존장이다
④∇×H = J 는 전류 둘레로 자계가 도는 모습을 식으로 쓴 것이다
⑤항등식 ∇×(∇V) ≡ 0, ∇·(∇×F) ≡ 0 은 정전계를 전위의 기울기로 쓸 수 있는 근거라서 자주 물어요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] V = x²y + yz 일 때 ∇V 를 구하시오. (답: 2xy·x̂ + (x² + z)·ŷ + y·ẑ)
②[기출유형] F = xy·x̂ + yz·ŷ + zx·ẑ 일 때 ∇·F 를 구하시오. (답: ∂(xy)/∂x + ∂(yz)/∂y + ∂(zx)/∂z = y + z + x)
③[기출유형] 정전계에서 ∇×E = 0 임을 써서 E = −∇V 가 성립하는 까닭을 설명하시오. (답: 기울기의 회전은 늘 0 이므로 회전이 없는 장은 어떤 스칼라의 기울기로 쓸 수 있고, 그 스칼라가 전위다)
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발산의 정리

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