전기기사 전기자기학 · 발산의 정리

Divergence Theorem

공간을 감싼 폐곡면을 풍선이라고 보면, 그 안의 전하는 바람을 뿜어내는 원천과 같아요. 벡터가 이 폐곡면을 수직으로 뚫고 나가는 양을 모두 더한 것을 면적분, 곧 플럭스라고 부르는데, 폐곡면 크기를 바꿔도 안의 전하가 같으면 뚫고 나가는 총량은 변하지 않아요. 발산의 정리에 따르면 이 면적분은 내부에서 뿜어나오는 양을 모두 합한 체적적분과 같고, 안에서 나온 만큼 밖으로 나가요. 전하량과 폐곡면 반지름을 바꾸면 플럭스가 어떻게 정해지는지 보여요.

풍선 비유

전하량 Q2

폐곡면 반지름3

🎈 풍선 안에서 바람을 불면?

풍선(골드 점선)이 폐곡면이고, 안의 전하가 바람의 원천이다. 양전하(+)면 바깥으로 뿜고, 음전하(−)면 빨아들인다. 폐곡면 크기를 바꿔봐도 뚫고 나가는 총량은 변하지 않는다. 원천의 세기가 같기 때문이다.

면적분이란

📐 면적분 = '뚫고 나가는 총량'

∮D·dS는 벡터 D가 폐곡면 S를 수직으로 뚫고 나가는 양을 전부 합한 것이다. D와 면이 평행하면 기여 안 하고(내적 = 0), 수직일수록 많이 기여한다. 이것이 '플럭스(flux)'다.

전속 (면적분)

∮ D · dS

폐곡면 S를 뚫고 나가는 D의 총량 = 전속(electric flux)

발산의 정리

∮ F·dS = ∫∫∫ (∇·F) dV

폐곡면 통과량 = 내부 발산 총합

🎯 왼쪽 = 오른쪽, 왜?

왼쪽(면적분): 폐곡면 바깥으로 나가는 총량. 오른쪽(체적적분): 내부 모든 점에서 뿜어나오는 양을 합산. 안에서 뿜는 양 = 밖으로 나오는 양. 당연한 이야기를 수식으로 쓴 것이다.

💡 핵심 직관

내부에 소스(뿜는 곳)가 있으면 → 면적분 > 0

①싱크(흡수하는 곳)가 있으면 → 면적분 < 0

②소스도 싱크도 없으면 → 면적분 = 0 (들어온 만큼 나간다)

가우스 법칙과의 연결

가우스 법칙 (적분형)

∮ D·dS = Q

폐곡면을 뚫고 나가는 전속 = 내부 전하량

가우스 법칙 (미분형)

∇·D = ρ_v

전속밀도의 발산 = 전하밀도

🔗 적분형 ↔ 미분형 변환

적분형에 발산의 정리를 적용하면 미분형이 된다: ∮D·dS = ∫∫∫(∇·D)dV = ∫∫∫ρ_v dV = Q. 양변에서 적분을 제거하면 ∇·D = ρ_v. 발산의 정리는 이 변환의 다리 역할이다.

자계 가우스 법칙

∮ B·dS = 0, ∇·B = 0

자하(magnetic charge)는 없으므로 자속의 발산은 항상 0

시험 포인트 정리

발산의 정리

∮ F·dS = ∫∫∫ (∇·F) dV

면적분(바깥 통과량) = 체적적분(내부 발산 합)

가우스 적분형

∮D·dS = Q

전속 = 전하량

가우스 미분형

∇·D = ρ_v

발산 = 전하밀도

🎯 시험 포인트

①발산의 정리: 면적분 ↔ 체적적분 변환 도구

②∮D·dS = Q 에서 대칭성 이용 → D를 꺼내서 계산 (가우스 법칙 문제 풀이 핵심)

③폐곡면 크기를 바꿔도 내부 전하가 같으면 플럭스 동일

④전하가 없는 영역에서는 ∇·D = 0

⑤∇·B = 0: 자기 단극(모노폴)은 존재하지 않는다

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 구 내부에 균일 전하밀도 ρ_v가 분포할 때, 구 바깥(r>a)에서 D를 구하시오. (답: D = ρ_v a³/3r² r̂)

②[기출유형] 발산의 정리를 이용하여 가우스 법칙의 적분형으로부터 미분형을 유도하시오.

③[기출유형] ∇·B = 0이 의미하는 물리적 사실을 설명하시오. (답: 자기 단극 불존재, 자기력선은 항상 폐곡선)