공간의 일부를 감싼 폐곡면을 풍선이라 하면, 그 안의 전하는 바람을 뿜어내는 원천에 해당해요.
벡터가 폐곡면을 수직으로 뚫고 나가는 몫을 모두 더한 것이 면적분, 곧 플럭스이고, 안의 전하가 같으면 폐곡면을 키우든 줄이든 이 총량은 그대로예요.
발산의 정리는 이 면적분이 안쪽 모든 점의 발산을 더한 체적적분과 같다는 것으로, 안에서 뿜은 만큼 밖으로 나간다는 뜻이에요.
전하량 슬라이더로 화살표의 방향과 길이가, 반지름 슬라이더로 금색 점선 폐곡면의 크기가 바뀌고, 그림 아래 ∮D·dS 값은 전하량만 따라 움직여요.
풍선에 빗대어 보기
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+Q. −Q. S. ∮D·dS.
폐곡면 S 안의 전하 Q 가 만드는 전속밀도 D 의 방사 분포
2
3
🎈 풍선 안에서 바람을 불면
금색 점선 원이 폐곡면이고, 가운데 전하가 바람의 원천이다. 양전하면 빨간 화살표가 바깥으로 뻗고 음전하면 파란 화살표가 안으로 모인다. 반지름을 바꾸면 원을 지나는 화살표의 수는 그대로이고 아래 ∮D·dS 값도 바뀌지 않는데, 원천의 세기가 같기 때문이다.
면적분이란
📐 면적분은 뚫고 나가는 총량
∮D·dS 는 D 가 폐곡면 S 를 수직으로 뚫고 나가는 몫을 면 전체에서 더한 값이다. D 가 면과 나란하면 내적이 0 이라 보탬이 없고, 면에 수직일수록 많이 보탠다. 이 총량을 플럭스(flux)라 해요.
전속(면적분)
∮ D · dS
폐곡면 S 를 뚫고 나가는 D 의 총량, 곧 전속이다
발산의 정리
발산의 정리
∮ F·dS = ∫∫∫ (∇·F) dV
폐곡면을 지나 나가는 양 = 안쪽 발산의 합
🎯 왼쪽과 오른쪽이 같은 까닭
왼쪽 면적분은 폐곡면 밖으로 나가는 총량이고, 오른쪽 체적적분은 안쪽 모든 점에서 뿜어 나오는 양을 더한 것이다. 안에서 생긴 만큼 밖으로 나간다는 당연한 사실을 식으로 쓴 셈이다.
💡 안에 무엇이 있느냐로 정해지는 부호
①안에 소스(뿜는 곳)가 있으면 면적분은 양수다
②싱크(빨아들이는 곳)가 있으면 면적분은 음수다
③소스도 싱크도 없으면 들어온 만큼 나가므로 면적분은 0 이다
가우스 법칙과 이어 보기
가우스 법칙(적분형)
∮ D·dS = Q
폐곡면을 뚫고 나가는 전속 = 안쪽 전하량
가우스 법칙(미분형)
∇·D = ρv
전속밀도의 발산 = 전하밀도
🔗 적분형과 미분형 오가기
적분형에 발산의 정리를 쓰면 ∮D·dS = ∫∫∫(∇·D)dV = ∫∫∫ρ_v dV = Q 가 된다. 어떤 부피에서나 성립하니 피적분 함수끼리 같아야 하고, 그래서 ∇·D = ρ_v 가 나온다. 발산의 정리가 두 꼴을 잇는 다리 노릇을 해요.
자계의 가우스 법칙
∮ B·dS = 0, ∇·B = 0
자하(자기 단극)가 없으므로 자속밀도의 발산은 늘 0 이다
시험 포인트 정리
발산의 정리
∮ F·dS = ∫∫∫ (∇·F) dV
면적분(밖으로 나가는 양) = 체적적분(안쪽 발산의 합)
가우스 적분형
∮D·dS = Q
전속 = 전하량
가우스 미분형
∇·D = ρv
발산 = 전하밀도
🎯 시험 포인트
①발산의 정리는 면적분과 체적적분을 서로 바꾸는 도구다
②∮D·dS = Q 에서 대칭을 이용해 D 를 적분 밖으로 꺼내는 것이 가우스 법칙 문제의 요령이에요
③폐곡면 크기를 바꿔도 안쪽 전하가 같으면 플럭스는 같다
④전하가 없는 곳에서는 ∇·D = 0 이다
⑤∇·B = 0 은 자기 단극(모노폴)이 없다는 뜻이다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 반지름 a 인 구 안에 전하밀도 ρ_v 가 고르게 퍼져 있을 때 구 바깥(r > a)의 D 를 구하시오. (답: Q = (4/3)πa³ρ_v 이므로 D = Q/4πr² = ρ_v a³/3r² r̂)
②[기출유형] 발산의 정리를 써서 가우스 법칙의 적분형에서 미분형을 이끌어 내시오. (답: ∮D·dS = ∫(∇·D)dV = ∫ρ_v dV 가 모든 부피에서 성립하므로 ∇·D = ρ_v)
③[기출유형] ∇·B = 0 이 뜻하는 물리적 사실을 설명하시오. (답: 자기 단극이 없고, 자기력선은 늘 닫힌 곡선이다)