발산의 정리

Divergence Theorem

공간을 감싼 폐곡면을 풍선이라고 보면, 그 안의 전하는 바람을 뿜어내는 원천과 같아요. 벡터가 이 폐곡면을 수직으로 뚫고 나가는 양을 모두 더한 것을 면적분, 곧 플럭스라고 부르는데, 폐곡면 크기를 바꿔도 안의 전하가 같으면 뚫고 나가는 총량은 변하지 않아요. 발산의 정리는 이 면적분이 내부에서 뿜어나오는 양을 모두 합한 체적적분과 같다고 말해 주는데, 안에서 나온 만큼 밖으로 나간다는 당연한 사실이에요. 슬라이더로 전하량과 폐곡면 반지름을 바꾸며 플럭스가 어떻게 정해지는지 확인해 봐요.

풍선 비유

전하량 Q2

폐곡면 반지름3

🎈 풍선 안에서 바람을 불면?

풍선(골드 점선)이 폐곡면이고, 안의 전하가 바람의 원천이다. 양전하(+)면 바깥으로 뿜고, 음전하(−)면 빨아들인다. 폐곡면 크기를 바꿔봐도 뚫고 나가는 총량은 변하지 않는다. 원천의 세기가 같기 때문이다.

면적분이란

📐 면적분 = '뚫고 나가는 총량'

∮D·dS는 벡터 D가 폐곡면 S를 수직으로 뚫고 나가는 양을 전부 합한 것이다. D와 면이 평행하면 기여 안 하고(내적 = 0), 수직일수록 많이 기여한다. 이것이 '플럭스(flux)'다.

전속 (면적분)

∮ D · dS

폐곡면 S를 뚫고 나가는 D의 총량 = 전속(electric flux)

발산의 정리

∮ F·dS = ∫∫∫ (∇·F) dV

폐곡면 통과량 = 내부 발산 총합

🎯 왼쪽 = 오른쪽, 왜?

왼쪽(면적분): 폐곡면 바깥으로 나가는 총량. 오른쪽(체적적분): 내부 모든 점에서 뿜어나오는 양을 합산. 안에서 뿜는 양 = 밖으로 나오는 양. 당연한 이야기를 수식으로 쓴 것이다.

💡 핵심 직관

내부에 소스(뿜는 곳)가 있으면 → 면적분 > 0

①싱크(흡수하는 곳)가 있으면 → 면적분 < 0

②소스도 싱크도 없으면 → 면적분 = 0 (들어온 만큼 나간다)

가우스 법칙과의 연결

가우스 법칙 (적분형)

∮ D·dS = Q

폐곡면을 뚫고 나가는 전속 = 내부 전하량

가우스 법칙 (미분형)

∇·D = ρ_v

전속밀도의 발산 = 전하밀도

🔗 적분형 ↔ 미분형 변환

적분형에 발산의 정리를 적용하면 미분형이 된다: ∮D·dS = ∫∫∫(∇·D)dV = ∫∫∫ρ_v dV = Q. 양변에서 적분을 제거하면 ∇·D = ρ_v. 발산의 정리는 이 변환의 다리 역할이다.

자계 가우스 법칙

∮ B·dS = 0, ∇·B = 0

자하(magnetic charge)는 없으므로 자속의 발산은 항상 0

시험 포인트 정리

발산의 정리

∮ F·dS = ∫∫∫ (∇·F) dV

면적분(바깥 통과량) = 체적적분(내부 발산 합)

가우스 적분형

∮D·dS = Q

전속 = 전하량

가우스 미분형

∇·D = ρ_v

발산 = 전하밀도

🎯 시험 포인트

①발산의 정리: 면적분 ↔ 체적적분 변환 도구

②∮D·dS = Q 에서 대칭성 이용 → D를 꺼내서 계산 (가우스 법칙 문제 풀이 핵심)

③폐곡면 크기를 바꿔도 내부 전하가 같으면 플럭스 동일

④전하가 없는 영역에서는 ∇·D = 0

⑤∇·B = 0: 자기 단극(모노폴)은 존재하지 않는다

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 구 내부에 균일 전하밀도 ρ_v가 분포할 때, 구 바깥(r>a)에서 D를 구하시오. (답: D = ρ_v a³/3r² r̂)

②[기출유형] 발산의 정리를 이용하여 가우스 법칙의 적분형으로부터 미분형을 유도하시오.

③[기출유형] ∇·B = 0이 의미하는 물리적 사실을 설명하시오. (답: 자기 단극 불존재, 자기력선은 항상 폐곡선)