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전기기사 전기자기학 · 스토크스의 정리

Stokes' Theorem

도선에 전류가 흐르면 그 둘레를 자계가 소용돌이처럼 감아 돌아요. 폐경로를 한 바퀴 돌며 자계가 진행 방향으로 밀어 주는 몫을 모두 더한 것이 선적분이고, 이 값은 경로 안을 꿰뚫는 전류와 같아요. 스토크스 정리는 이 선적분이 경로를 테두리로 하는 면 안쪽의 회전을 모두 더한 값과 같다는 것으로, 앙페르 법칙의 적분형과 미분형을 잇는 다리가 돼요. 전류 슬라이더로 가운데 전류의 방향과 초록 자계 화살표의 세기가, 반지름 슬라이더로 금색 점선 경로의 크기가 바뀌고, 그림 아래 ∮H·dl 값은 전류만 따라 움직여요.

소용돌이에 빗대어 보기

2A
3
🌀 소용돌이의 원리
가운데 빨간 ⊙ 는 화면 밖으로 흐르는 전류이고, 그 둘레의 초록 화살표가 반시계로 감아 도는 자계다. 금색 점선 경로 C 를 따라 자계가 밀어 주는 몫을 모두 더한 선적분은 경로 안을 꿰뚫는 전류와 같다. 반지름을 키우면 자계는 약해지지만 경로가 길어져, 둘을 곱한 선적분 값은 그대로다.

선적분이란

🚶 선적분은 경로를 따라 밀리는 총량
∮H·dl 은 폐경로 C 를 한 바퀴 걸으며 지점마다 자계 H 가 진행 방향으로 밀어 주는 몫을 모두 더한 값이다. 자계가 진행 방향과 같은 쪽이면 양수로, 반대쪽이면 음수로 보탠다.
순환(선적분)
∮ H · dl
폐경로 C 를 따라 H 의 접선 성분을 적분한 값, 곧 순환(circulation)이다

스토크스의 정리

스토크스의 정리
∮ F·dl = ∫∫ (∇×F)·dS
폐경로를 따른 순환 = 면 안쪽 회전(curl)의 합
🎯 왼쪽과 오른쪽이 같은 까닭
왼쪽 선적분은 경로를 따라 밀리는 총량이고, 오른쪽 면적분은 면 안쪽 모든 점의 소용돌이 ∇×F 를 더한 것이다. 경로를 따라 밀리는 까닭이 안쪽에 소용돌이가 있기 때문이니, 같은 현상을 두 가지로 적은 셈이다.
🔄 발산의 정리와 견주기
①발산의 정리는 면적분과 체적적분을 잇는다(∮F·dS = ∫∫∫∇·F dV)
②스토크스 정리는 선적분과 면적분을 잇는다(∮F·dl = ∫∫∇×F·dS)
③둘 다 한쪽이 다른 쪽보다 차원이 하나 낮다: 체적 → 면 → 선

앙페르 법칙과 이어 보기

앙페르 법칙(적분형)
∮ H·dl = I
폐경로를 따른 자계의 순환 = 꿰뚫는 전류
앙페르 법칙(미분형)
∇×H = J
자계의 회전 = 전류밀도
🔗 적분형과 미분형 오가기
적분형에 스토크스 정리를 쓰면 ∮H·dl = ∫∫(∇×H)·dS = ∫∫J·dS = I 가 된다. 어떤 면에서나 성립하니 피적분 함수끼리 같아야 하고, 그래서 ∇×H = J 가 나와요.
패러데이 법칙(미분형)
∇×E = −∂B∂t
시간에 따라 변하는 자계가 전계의 회전을 만든다. 전자 유도의 뿌리다

시험 포인트 정리

스토크스의 정리
∮ F·dl = ∫∫ (∇×F)·dS
선적분(경로 순환) = 면적분(안쪽 회전의 합)
앙페르 적분형
∮H·dl = I
자계의 순환 = 전류
앙페르 미분형
∇×H = J
자계의 회전 = 전류밀도
발산의 정리와 스토크스 정리
발산: ∮F·dS = ∫∫∫∇·F dV (면 ↔ 체적)
스토크스: ∮F·dl = ∫∫∇×F·dS (선 ↔ 면)
🎯 시험 포인트
①스토크스 정리는 선적분과 면적분을 서로 바꾸는 도구다
②∮H·dl = I 에서 대칭을 이용해 H 를 적분 밖으로 꺼내는 것이 앙페르 법칙 문제의 요령이에요
③경로 크기를 바꿔도 꿰뚫는 전류가 같으면 선적분은 같다
④정전계는 ∇×E = 0 이므로 어떤 폐경로에서도 ∮E·dl = 0 인 보존장이다
⑤발산 정리에는 ∇·(내적), 스토크스 정리에는 ∇×(외적)가 들어가니 둘을 맞바꿔 묻는 문제가 나와요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] 반지름 a 인 무한 직선 도체에 전류 I 가 흐를 때, 앙페르 법칙으로 도체 바깥 자계 H 를 구하시오. (답: H·2πr = I 이므로 H = I/2πr)
②[기출유형] 스토크스 정리를 써서 앙페르 법칙의 적분형에서 미분형을 이끌어 내시오. (답: ∮H·dl = ∫∫(∇×H)·dS = ∫∫J·dS 가 모든 면에서 성립하므로 ∇×H = J)
③[기출유형] 정전계에서 ∮E·dl = 0 인 까닭을 스토크스 정리로 설명하시오. (답: ∇×E = 0 이므로 ∫∫(∇×E)·dS = 0)
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