스토크스의 정리

Stokes' Theorem

전류가 흐르면 그 둘레에는 자계가 소용돌이처럼 휘감아 돌아요. 폐경로를 한 바퀴 돌며 자계가 진행 방향으로 밀어 주는 양을 모두 더한 것이 선적분인데, 이 값은 경로 안을 지나는 전류와 같아요. 스토크스 정리는 이 선적분이 면 내부 모든 점의 회전을 합한 것과 같다고 말해 주고, 이것이 앙페르 법칙의 적분형과 미분형을 잇는 다리가 돼요. 슬라이더로 전류와 경로 반지름을 바꿔, 경로를 키워도 관통 전류가 같으면 선적분 값이 어떻게 유지되는지 확인해 봐요.

소용돌이 비유

전류 I2A

경로 반지름3

🌀 소용돌이의 원리

전류(빨강 ⊙)가 흐르면 주위에 자계(초록)가 소용돌이친다. 골드 점선 경로 C를 따라 자계가 밀어주는 총량(선적분) = 경로 안을 관통하는 전류. 경로 크기를 바꿔도 관통 전류가 같으면 선적분 값도 같다.

선적분이란

🚶 선적분 = '경로 따라 밀리는 총량'

∮H·dl은 폐경로 C를 한 바퀴 걸으면서, 각 지점에서 자계 H가 내 진행 방향으로 밀어주는 힘을 전부 합한 것이다. 자계와 진행 방향이 같으면 +, 반대면 − 기여.

순환 (선적분)

∮ H · dl

폐경로 C를 따라 H의 접선 성분을 적분 = 순환(circulation)

스토크스의 정리

∮ F·dl = ∫∫ (∇×F)·dS

폐경로 순환 = 면 내부 회전(curl) 총합

🎯 왼쪽 = 오른쪽, 왜?

왼쪽(선적분): 경로를 따라 밀리는 총량. 오른쪽(면적분): 면 내부 모든 점의 소용돌이(∇×F)를 합산. 경로를 따라 밀리는 이유가 내부에 소용돌이가 있기 때문이다. 같은 현상의 두 가지 표현.

🔄 발산의 정리와 비교

발산의 정리: 면적분 ↔ 체적적분 (∮F·dS = ∫∫∫∇·F dV)

①스토크스 정리: 선적분 ↔ 면적분 (∮F·dl = ∫∫∇×F·dS)

②한 단계씩 차원이 낮다: 체적→면→선

앙페르 법칙과의 연결

앙페르 법칙 (적분형)

∮ H·dl = I

폐경로를 따른 자계 순환 = 관통 전류

앙페르 법칙 (미분형)

∇×H = J

자계의 회전 = 전류밀도

🔗 적분형 ↔ 미분형 변환

적분형에 스토크스 정리를 적용: ∮H·dl = ∫∫(∇×H)·dS = ∫∫J·dS = I. 양변에서 적분을 제거하면 ∇×H = J. 스토크스 정리가 변환의 다리 역할이다.

패러데이 법칙 (미분형)

∇×E = −∂B∂t

시변 자계가 전계의 회전을 만든다. 전자유도의 근원

시험 포인트 정리

스토크스의 정리

∮ F·dl = ∫∫ (∇×F)·dS

선적분(경로 순환) = 면적분(내부 회전 합)

앙페르 적분형

∮H·dl = I

자계 순환 = 전류

앙페르 미분형

∇×H = J

자계 회전 = 전류밀도

loop 발산의 정리 vs 스토크스 정리

발산: ∮F·dS = ∫∫∫∇·F dV   (면↔체적)
스토크스: ∮F·dl = ∫∫∇×F·dS   (선↔면)

🎯 시험 포인트

①스토크스 정리: 선적분 ↔ 면적분 변환 도구

②∮H·dl = I 에서 대칭성 이용 → H를 꺼내서 계산 (앙페르 법칙 문제 풀이 핵심)

③경로 크기를 바꿔도 관통 전류가 같으면 선적분 동일

④∇×E = 0 → ∮E·dl = 0 (정전계는 보존장, 어떤 폐경로든 선적분 = 0)

⑤발산 정리는 ∇· (내적), 스토크스 정리는 ∇× (외적): 연산자가 다르다

📝 대표 기출문제

①[기출유형] 반지름 a인 무한 직선 도체에 전류 I가 흐를 때, 앙페르 법칙으로 외부 자계 H를 구하시오. (답: H = I/2πr)

②[기출유형] 스토크스 정리를 이용하여 앙페르 법칙의 적분형에서 미분형을 유도하시오.

③[기출유형] 정전계에서 ∮E·dl = 0인 이유를 스토크스 정리로 설명하시오. (답: ∇×E=0이므로 ∫∫(∇×E)·dS=0)