seegongsik

전기기사 전기자기학 · 내적과 외적

Dot Product & Cross Product

숫자의 곱셈은 한 가지뿐이지만 벡터에는 결과의 꼴이 다른 곱셈이 두 가지 있어요. 내적은 두 벡터에서 같은 방향으로 겹치는 몫만 골라 숫자 하나를 내고, 외적은 두 벡터에 모두 수직인 새 벡터를 내요. 그래서 일이나 전력처럼 크기만 따지는 양에는 내적이, 로렌츠 힘이나 토크처럼 방향이 새로 생기는 양에는 외적이 쓰여요. 크기와 사이각 슬라이더를 움직이면 내적 그림에서는 투영 막대의 길이가, 외적 그림에서는 평행사변형의 넓이가 함께 바뀌어요.

벡터의 곱셈은 왜 두 가지인가

A · B
내적 → 숫자(스칼라)
A × B
외적 → 벡터
🤔 결과가 숫자인 곱과 벡터인 곱
내적(·)은 두 벡터에서 같은 방향 성분만 뽑아 곱하므로 결과가 숫자다. 외적(×)은 두 벡터가 이루는 면에 수직인 새 벡터를 만든다. 같은 두 벡터를 곱해도 무엇을 묻느냐에 따라 쓰는 곱이 달라져요.
⚡ 전자기학에서 맡는 일
①내적은 일 W = F·d, 전력 밀도 p = E·J 처럼 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 보탬이 되는지를 셀 때 쓴다
②외적은 로렌츠 힘 F = qv×B, 비오-사바르 dH = Idl×r̂ 처럼 두 방향에 수직인 쪽으로 무언가가 생길 때 쓴다

내적 (Dot Product)

3
2.5
60°
📐 내적 = 투영의 곱
금색 proj 화살표는 B 를 A 방향으로 투영한 길이 |B|cosθ 이고, 내적은 |A| 에 이 길이를 곱한 값이다. θ 를 90° 에 두면 투영이 0 이 되어 내적도 0 이 된다. 90° 를 넘기면 투영이 A 의 반대쪽으로 넘어가 막대가 빨갛게 바뀌고 내적은 음수가 돼요.
내적(크기와 사이각)
A · B = |A||B|cosθ
결과는 스칼라다. θ = 90° 이면 0, θ = 0° 이면 가장 크다
내적(성분 계산)
A · B = AxBx + AyBy + AzBz
같은 축 성분끼리 곱해 모두 더한다

외적(Cross Product)

3
2.5
60°
📐 외적의 크기는 평행사변형의 넓이
초록으로 칠한 영역이 A 와 B 를 두 변으로 하는 평행사변형이고, 외적의 크기가 바로 이 넓이 |A||B|sinθ 다. 방향은 오른손 네 손가락을 A 에서 B 쪽으로 감아쥘 때 엄지가 가리키는 쪽이며, 그림에서는 위로 선 초록 화살표(z축 양의 방향)로 그렸다. θ = 90° 에서 넓이가 가장 크고, 0° 나 180° 에서는 두 벡터가 한 줄에 놓여 넓이가 없어져요.
외적(크기와 사이각)
|A × B| = |A||B|sinθ
결과는 벡터다. 방향은 오른손 법칙을 따르고 A, B 에 모두 수직이다
외적(성분 계산)
A×B = (AyBz−AzBy)x̂ + (AzBx−AxBz)ŷ + (AxBy−AyBx)ẑ
첫 줄에 x̂ · ŷ · ẑ, 둘째 줄에 A 의 성분, 셋째 줄에 B 의 성분을 놓은 3×3 행렬식을 전개한 결과다

전자기학에서 쓰는 곳

⚡ 내적이 쓰이는 곳
①전기력이 한 일 W = ∫F·dl
②전력 밀도 p = E·J
③가우스 법칙 ∮D·dS 는 면을 수직으로 뚫고 나가는 몫만 센다
🧲 외적이 쓰이는 곳
①로렌츠 힘 F = qv×B 는 속도와 자계에 모두 수직이다
②비오-사바르 dH = Idl×r̂/4πr² 는 전류 방향에 수직인 자계를 준다
③토크 τ = m×B 는 자기 모멘트와 자계가 수직일 때 가장 크다
기억법
내적(cos) → "같은 방향 → 스칼라" → 에너지, 일, 전력
외적(sin) → "수직 방향 → 벡터" → 힘, 토크, 자계

시험 포인트 정리

내적
A·B = |A||B|cosθ
결과: 스칼라
외적
|A×B| = |A||B|sinθ
결과: 벡터
🔗 내적과 외적의 차이
내적은 cosθ 가 들어간 스칼라, 외적은 sinθ 가 들어간 벡터다. 결과의 꼴이 다르다는 점이 두 곱을 가르는 가장 큰 차이예요
단위벡터 외적의 순환
x̂×ŷ = ẑ, ŷ×ẑ = x̂, ẑ×x̂ = ŷ
x → y → z → x 순서로 곱하면 +, 거꾸로 곱하면 − 가 붙는다
단위벡터 내적
x̂·x̂ = 1, x̂·ŷ = 0
같은 축끼리는 1, 서로 다른 축끼리는 0 이다
단위벡터 외적
x̂×x̂ = 0, ŷ×x̂ = −ẑ
같은 축끼리는 0, 순서를 바꾸면 부호가 바뀐다
🎯 시험 포인트
①A·B = 0 이면 두 벡터가 수직이다(수직 판별)
②A×B = 0 이면 두 벡터가 평행이다(평행 판별)
③내적은 순서를 바꿔도 같다: A·B = B·A
④외적은 순서를 바꾸면 부호가 뒤집힌다: A×B = −B×A
⑤단위벡터 곱 x̂·x̂ = 1, x̂·ŷ = 0, x̂×ŷ = ẑ 는 외워 두면 계산이 빨라져요
📝 대표 기출유형
①[기출유형] A = 2x̂ + ŷ, B = x̂ − 3ŷ + ẑ 일 때 A·B 를 구하시오. (답: 2×1 + 1×(−3) + 0×1 = −1)
②[기출유형] A = x̂ + 2ŷ, B = 3x̂ + ŷ 일 때 A×B 를 구하시오. (답: (0−0)x̂ + (0−0)ŷ + (1×1 − 2×3)ẑ = −5ẑ)
③[기출유형] 두 벡터의 사이각이 60° 이고 |A| = 2, |B| = 3 일 때 내적과 외적의 크기를 구하시오. (답: A·B = 2×3×cos60° = 3, |A×B| = 2×3×sin60° = 3√3)
← 이전
벡터의 덧셈과 크기
다음 →
좌표계 변환

마지막 수정