내적과 외적

Dot Product & Cross Product

숫자에는 곱셈이 하나뿐이지만 벡터에는 곱셈이 두 가지 있어요. 내적은 두 벡터의 같은 방향 성분만 뽑아 하나의 숫자로 만들고, 외적은 두 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터를 만들어요. 그래서 내적은 일이나 전력처럼 크기를 다룰 때, 외적은 힘이나 토크처럼 방향이 중요한 곳에 쓰여요. 슬라이더로 두 벡터의 크기와 사이각을 바꿔 가며 내적의 투영과 외적의 평행사변형 넓이가 어떻게 변하는지 확인해 봐요.

벡터의 곱셈이 2개?

A · B

내적 → 숫자(스칼라)

A × B

외적 → 벡터

🤔 곱하기가 왜 2개인가?

숫자는 곱하기가 1개지만, 벡터는 2개다. 내적(·)은 '같은 방향 성분만 추출'해서 숫자가 되고, 외적(×)은 '두 벡터 모두에 수직인 새 벡터'를 만든다. 결과의 형태가 다르다!

⚡ 전자기학에서의 핵심 역할

내적: 일(W = F·d), 전력(P = E·J) 같은 방향 성분이 얼마나 기여하는지

①외적: 힘(F = qv×B), 비오-사바르(dH = Idl×r̂) 수직 방향으로 무엇이 생기는지

내적 (Dot Product)

|A|3

|B|2.5

사이각 θ60°

📐 내적 = 투영의 곱

골드색 'proj'가 B를 A 방향으로 투영한 길이다. 내적 = A의 크기 × 이 투영 길이. θ=90°로 놓으면 투영이 0이 되어 내적도 0: 수직이면 '같은 방향 성분'이 없기 때문이다.

내적 (크기·각도)

A · B = |A||B|cosθ

결과: 스칼라(숫자). θ=90°이면 0, θ=0°이면 최대

내적 (성분 계산)

A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

각 축 성분끼리 곱해서 모두 더한다

외적 (Cross Product)

|A|3

|B|2.5

사이각 θ60°

📐 외적 = 평행사변형의 넓이

초록 영역이 A와 B로 만든 평행사변형이다. 외적의 크기 = 이 넓이. 방향은 오른손 법칙(A→B로 감싸쥘 때 엄지 방향). θ=90°에서 최대, θ=0°나 180°에서 0: 평행하면 넓이가 없다.

외적 (크기·각도)

|A × B| = |A||B|sinθ

결과: 벡터. 방향은 오른손 법칙 (A, B 모두에 수직)

외적 (성분 계산)

A×B = (A_yB_z−A_zB_y)x̂ + (A_zB_x−A_xB_z)ŷ + (A_xB_y−A_yB_x)ẑ

행렬식 전개: i(yz−zy) − j(xz−zx) + k(xy−yx)

전자기학에서의 활용

⚡ 내적이 쓰이는 곳

• 전기력이 한 일: W = ∫F·dl

①

• 전력 밀도: P = E·J

②

• 가우스 법칙: ∮D·dS (면을 수직 관통하는 양)

🧲 외적이 쓰이는 곳

• 로렌츠 힘: F = qv×B (속도·자계에 수직 방향 힘)

①

• 비오-사바르: dH = Idl×r̂/4πr² (전류에 수직 자계)

②

• 토크: τ = m×B (자기모멘트·자계 수직 시 최대)

기억법

내적(cos) → "같은 방향 → 스칼라" → 에너지, 일, 전력
외적(sin) → "수직 방향 → 벡터" → 힘, 토크, 자계

시험 포인트 정리

내적

A·B = |A||B|cosθ

결과: 스칼라

외적

|A×B| = |A||B|sinθ

결과: 벡터

🔗 내적 vs 외적 핵심

내적=스칼라(cosθ), 외적=벡터(sinθ): 결과의 형태가 근본 차이

단위벡터 외적 사이클

x̂×ŷ = ẑ, ŷ×ẑ = x̂, ẑ×x̂ = ŷ

오른손 사이클: x→y→z→x (순방향 +, 역방향 −)

단위벡터 내적

x̂·x̂ = 1, x̂·ŷ = 0

같은 축=1, 다른 축=0

단위벡터 외적

x̂×x̂ = 0, ŷ×x̂ = −ẑ

같은 축=0, 역순=부호 반전

🎯 시험 포인트

①A·B = 0 이면 A⊥B (수직 판별)

②A×B = 0 이면 A∥B (평행 판별)

③내적은 교환법칙 성립: A·B = B·A

④외적은 교환법칙 불성립: A×B = −B×A (순서 바꾸면 부호 반대!)

⑤단위벡터: x̂·x̂=1, x̂·ŷ=0, x̂×ŷ=ẑ 반드시 암기

📝 대표 기출문제

①[기출유형] A = 2x̂ + ŷ, B = x̂ − 3ŷ + ẑ 일 때 A·B를 구하시오. (답: 2×1 + 1×(−3) + 0×1 = −1)

②[기출유형] A = x̂ + 2ŷ, B = 3x̂ + ŷ 일 때 A×B를 구하시오. (답: (0−0)x̂ + (0−0)ŷ + (1−6)ẑ = −5ẑ)

③[기출유형] 두 벡터의 사이각이 60°이고 |A|=2, |B|=3일 때 내적과 외적의 크기를 구하시오. (답: A·B=3, |A×B|=3√3)