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전기기사 전기자기학 · 벡터의 덧셈과 크기

Vector Addition & Magnitude

온도는 숫자 하나로 충분하지만 힘이나 전계는 크기와 함께 방향까지 알아야 뜻이 정해져요. 크기와 방향을 한꺼번에 담은 양을 벡터라 하고, 전자기학에서 다루는 전계 · 자계 · 힘이 모두 벡터예요. 벡터를 x · y · z 성분으로 나누어 두면 방향이 제각각인 벡터도 성분끼리 더하고 빼는 셈으로 다룰 수 있어요. 첫 그림에는 45° 쪽을 가리키는 힘 벡터 F 가 있고, 둘째 그림에서는 크기와 각도 슬라이더에 따라 성분이 바뀌어요. 셋째 그림에서는 A · B 를 따로 돌리며 합벡터를 만들고, 넷째 그림에서는 세 성분으로 3차원 벡터를 정해요.

벡터란 무엇인가

👀 스칼라와 벡터
온도 25℃ 는 숫자 하나로 다 전해지지만, 힘은 「3 N 으로, 오른쪽 위 45° 쪽으로」처럼 크기와 방향을 함께 말해야 한다. 그림의 금색 화살표가 바로 그런 힘이고, 화살표의 길이가 크기, 가리키는 쪽이 방향이다. 이렇게 두 가지를 함께 지닌 양이 벡터다.
⚡ 전자기학이 벡터로 말하는 까닭
전계 E, 자계 H, 힘 F 는 모두 방향이 있는 양이라 크기만 알아서는 문제가 풀리지 않는다. 쿨롱 힘을 더하든 자계를 겹치든 계산은 늘 벡터 덧셈이 되므로, 이 단원의 성분 표현과 덧셈이 앞으로 나올 모든 장의 바탕이 돼요.

벡터의 성분 표현

3
30°
📐 화살표를 숫자 두 개로 바꾸기
빨간 화살표 A 의 끝에서 x 축과 y 축으로 점선을 내리면 두 성분이 보인다. 가로 점선 옆 숫자가 A_x = |A|cosθ, 세로 점선 옆 숫자가 A_y = |A|sinθ 이다. 각도가 90° 를 넘으면 x 성분이 음수가 되고, 180° 를 넘으면 y 성분도 음수가 된다.
벡터의 성분 표현
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ
Ax = |A|cosθ, Ay = |A|sinθ
단위벡터 정의
â = A|A|
크기가 1 이고 A 와 같은 방향을 가리키는 벡터다. x̂, ŷ, ẑ 는 각 축 방향의 단위벡터다

벡터의 덧셈

3
30°
2
120°
A = (2.6, 1.5) B = (-1.0, 1.7)
A+B = (1.6, 3.2) |A+B| = 3.61
🎯 벡터 덧셈은 성분끼리 더하기
빨간 A 의 끝에 파란 B 의 꼬리를 이어 붙이면(점선) 원점에서 그 끝까지가 금색 합벡터 A+B 다. 셈으로는 x 성분끼리, y 성분끼리 더하기만 하면 되고, 그 결과는 그림 아래 좌표에 적힌다. 두 각도를 같게 맞추면 |A+B| 가 |A| + |B| 로 가장 커지고, 180° 차이로 두면 두 크기의 차로 가장 작아져요.
벡터 덧셈
A + B = (Ax+Bx)x̂ + (Ay+By)ŷ + (Az+Bz)ẑ
성분끼리 더한다. 모든 벡터 연산이 이 규칙에서 출발한다
벡터 뺄셈
A − B = (Ax−Bx)x̂ + (Ay−By)ŷ + (Az−Bz)ẑ
A − B = A + (−B), 곧 B 의 방향을 뒤집어 더한 것이다

벡터의 크기(3차원으로 넓히기)

3
2
1
|A| = √(3² + 2² + 1²) = √14 = 3.74
📏 크기는 피타고라스 정리를 넓힌 것
평면에서 크기가 √(A_x² + A_y²) 였다면 공간에서는 z 성분 하나가 더 들어갈 뿐이다. 그림의 점선은 원점에서 x 방향, 다시 y 방향, 마지막으로 z 방향으로 걸어가 A 의 끝에 닿는 길이고, z 성분을 0 에 두면 마지막 걸음이 사라져 평면벡터와 같아진다.
벡터의 크기
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
피타고라스 정리를 3차원으로 넓힌 식이다

시험 포인트 정리

2D 벡터
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ
평면벡터
3D 벡터
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ + Az·ẑ
공간벡터
🔑 2차원에서 3차원으로
평면 공식에 z 성분 하나를 더하면 공간 공식이 된다. 단위벡터를 만드는 법도, 크기를 재는 법도 구조가 같다
단위벡터
â = A|A|
|â| = 1 이고 A 의 방향만 담은 벡터다
벡터 크기
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
성분을 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌운다
🎯 시험 포인트
①평면에서 공간으로 넘어가도 z 성분이 하나 늘 뿐 공식의 꼴은 같다
②단위벡터 x̂, ŷ, ẑ 는 크기가 1 이고 방향만 나타낸다
③전계 E = E_x·x̂ + E_y·ŷ + E_z·ẑ 를 주고 |E| 를 묻는 문제가 자주 나와요
④â = A/|A| 로 단위벡터를 구하는 문제도 단골이에요
⑤뺄셈 A − B 는 B 를 뒤집어 더한 A + (−B) 로 계산한다
📝 대표 기출유형
①[기출유형] A = 3x̂ + 4ŷ 일 때 |A| 와 단위벡터 â 를 구하시오. (답: |A| = 5, â = 0.6x̂ + 0.8ŷ)
②[기출유형] A = x̂ + 2ŷ − 2ẑ, B = 2x̂ − ŷ + 2ẑ 일 때 A+B 를 구하시오. (답: 3x̂ + ŷ)
③[기출유형] 전계 E = 3x̂ + 4ŷ + 12ẑ [V/m] 의 크기를 구하시오. (답: √(9 + 16 + 144) = 13 V/m)
다음 →
내적과 외적

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