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내 단어장

벡터의 덧셈과 크기

Vector Addition & Magnitude

온도는 숫자 하나로 충분하지만, 힘이나 전계는 크기와 방향을 함께 알아야 해요. 이렇게 크기와 방향을 한꺼번에 담은 양이 벡터이고, 전계와 자계, 힘까지 전자기학의 거의 모든 양이 벡터로 표현돼요. 벡터는 x축과 y축 성분으로 쪼갤 수 있고, 두 벡터를 더할 때도 성분끼리 더하면 되기 때문에 방향이 섞여 있어도 계산이 간단해져요. 슬라이더로 크기와 각도를 바꿔 가며 성분이 어떻게 변하고 두 벡터의 합이 어떻게 그려지는지 확인해 봐요.

벡터란 무엇인가
👀 스칼라 vs 벡터
온도(25℃)는 숫자 하나면 충분하다. 하지만 힘이나 전계는? '3N 세기로, 오른쪽 위 45° 방향으로': 크기와 방향, 두 가지 정보가 필요하다. 이것이 벡터다.
⚡ 전자기학에서 벡터가 중요한 이유
전계(E), 자계(H), 힘(F) 모두 벡터다. 방향을 모르면 문제를 풀 수 없다. 벡터는 전자기학의 '언어'라고 생각하면 된다.
벡터의 성분 표현
3
30°
📐 화살표를 숫자로 쪼개기
벡터 A를 x축과 y축 성분으로 분해할 수 있다. 슬라이더로 각도를 바꿔보면, 점선으로 표시된 x성분과 y성분이 변하는 걸 볼 수 있다.
벡터의 성분 표현
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ
Ax = |A|cosθ, Ay = |A|sinθ
단위벡터 정의
â = A|A|
크기가 1이고 A와 같은 방향인 벡터. x̂, ŷ, ẑ가 각 축의 단위벡터
벡터의 덧셈
3
30°
2
120°
A = (2.6, 1.5) B = (-1.0, 1.7)
A+B = (1.6, 3.2) |A+B| = 3.61
🎯 벡터 덧셈 = 성분끼리 더하기
빨강 A의 꼬리에 파랑 B를 이어붙이면 합벡터(골드)가 된다. 수식으로는 간단하다. x성분끼리, y성분끼리 각각 더하면 끝. 두 벡터의 각도를 같게 해보고, 반대로도 해보자.
벡터 덧셈
A + B = (Ax+Bx)x̂ + (Ay+By)ŷ + (Az+Bz)ẑ
성분끼리 더한다. 이것이 벡터 연산의 기본
벡터 뺄셈
A − B = (Ax−Bx)x̂ + (Ay−By)ŷ + (Az−Bz)ẑ
A − B = A + (−B), B의 방향을 반대로 한 뒤 더하기
벡터의 크기 (3D 확장)
3
2
1
|A| = √(3² + 2² + 1²) = √14 = 3.74
📏 크기 = 피타고라스의 확장
2D에서 √(x²+y²) 이었다면, 3D에서는 z가 하나 더 추가될 뿐이다. 슬라이더로 z를 0으로 놓으면 평면벡터와 동일해지는 걸 확인하자.
벡터의 크기
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
피타고라스 정리를 3차원으로 확장한 것
시험 포인트 정리
2D 벡터
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ
평면벡터
3D 벡터
A = Ax·x̂ + Ay·ŷ + Az·ẑ
공간벡터
🔑 2D에서 3D로 확장
2D 공식에 z성분만 추가하면 3D: 단위벡터와 크기 계산 구조는 동일
단위벡터
â = A|A|
|â| = 1, A 방향만 나타내는 벡터
벡터 크기
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
성분의 제곱합에 루트
🎯 시험 포인트
①2D → 3D는 z성분 추가일 뿐, 공식 구조는 동일
②단위벡터 x̂, ŷ, ẑ는 방향만 나타내고 크기는 1
③전계 E = E_x·x̂ + E_y·ŷ + E_z·ẑ 에서 |E|를 구하라는 주요 출제 포인트
④â = A/|A|: 단위벡터 구하기 문제도 출제 포인트
⑤벡터의 뺄셈은 A − B = A + (−B), B의 방향을 반대로 한 뒤 더하기
📝 대표 기출문제
①[기출유형] A = 3x̂ + 4ŷ 일 때 |A|와 단위벡터 â를 구하시오. (답: |A|=5, â=0.6x̂+0.8ŷ)
②[기출유형] A = x̂ + 2ŷ − 2ẑ, B = 2x̂ − ŷ + 2ẑ 일 때 A+B를 구하시오. (답: 3x̂ + ŷ)
③[기출유형] 전계 E = 3x̂ + 4ŷ + 12ẑ [V/m]의 크기를 구하시오. (답: 13 V/m)
다음 →
내적과 외적
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