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전기기사 회로이론 · 다상교류

Polyphase AC

다상 교류, 그 가운데 삼상 교류는 같은 전력을 적은 전선으로 보낼 수 있고 회전 자계를 쉽게 만들어 전력 계통의 표준이 되었다. Y 결선은 선간 전압이 상전압의 √3 배, Δ 결선은 선전류가 상전류의 √3 배이고, 평형 부하라면 어느 결선이든 전력은 √3 V_L I_L cosθ 이다. Y-Δ 변환, 2전력계법, 대칭 좌표법이 이 관계 위에 이어지는 응용이에요. 위상각 슬라이더를 움직이면 세 상의 전압 벡터가 함께 돌고, 그 합이 늘 0 인 것이 보여요.

삼상 교류는 왜 셋을 쓸까

🔍 삼상이 유리한 이유
①단상은 순시 전력이 0 이 되는 순간이 있어, 전동기 토크가 맥동한다
②삼상은 120° 씩 어긋난 세 전압의 합이 늘 0 이고, 평형 부하의 순시 전력이 일정하다
③같은 전력을 보낼 때 삼상은 단상보다 전선 재료가 25% 적게 들어요
0°
🔑 그림 읽는 법
①A, B, C 세 상이 정확히 120°(= T/3) 간격으로 놓인다
②어느 순간이든 세 상의 합은 0 이다(평형 조건)
③상순은 A → B → C(정상순)와 A → C → B(역상순)가 있고, 전동기의 회전 방향을 정해요

Y 결선과 Δ 결선

Y 결선
VL = √3 VP, IL = IP
VL: 선간 전압, VP: 상전압, IL: 선전류, IP: 상전류. 중성선이 있어 단상 부하에도 공급할 수 있다.
Δ 결선
VL = VP, IL = √3 IP
중성점이 없고, 선간 전압 = 상전압이다. 큰 전동기에 주로 써요.

삼상 전력 계산

삼상 전력(평형 부하)
P = √3 VL IL cos θ
Y 든 Δ 든 같은 식이다. VL: 선간 전압, IL: 선전류, θ: 부하의 역률각.
삼상 전력(상 기준)
P = 3 VP IP cos θ
상전압 · 상전류로 쓴 삼상 전력이다. Y 에서 VP = VL/√3, Δ 에서 IP = IL/√3 을 넣으면 위 식과 같다.
삼상 무효 · 피상 전력
Q = √3 VL IL sin θ, S = √3 VL IL
S = √(P² + Q²). 단위: P[W], Q[var], S[VA].

Y-Δ 변환과 전력 측정

Y → Δ 변환
ZΔ = 3 ZY(평형 부하)
불평형이면 Zab = (ZaZb + ZbZc + ZcZa)/Zc. 평형이면 그냥 3배예요.
2전력계법
P = W₁ + W₂, Q = √3(W₁ − W₂)
삼상 전력을 전력계 두 대로 잰다. 역률각 θ 에 따라 W₁, W₂ 가 달라진다.
2전력계법 역률
tan θ = √3(W1 − W2)W1 + W2
2전력계법의 두 값으로 역률각을 구한다. W₁+W₂ = P, √3(W₁−W₂) = Q 이므로 tanθ = Q/P.
💡 2전력계법의 부호
①θ < 60° 이면 W₁, W₂ 가 모두 양수이다
②θ = 60° 이면 W₂ = 0 이다
③θ > 60° 이면 W₂ < 0 이라 전력계를 거꾸로 이어 읽어요

대칭 좌표법과 회전 자계

대칭 좌표법: 영상분 · 정상분 · 역상분
V0 = Va + Vb + Vc3, V1 = Va + aVb + a2Vc3, V2 = Va + a2Vb + aVc3
불평형 삼상을 정상분 V₁, 역상분 V₂, 영상분 V₀ 의 평형 성분으로 나눈다. 고장 해석의 기본 도구예요.
a 연산자
a = ej120° = −12 + j√32, a2 = ej240°, 1 + a + a2 = 0
a 를 곱하면 120° 돈다. a³ = 1 이고, 대칭 좌표법의 기본 연산자이다.
💡 대칭 좌표법 쓰임
①정상분 V₁: 정상 운전의 전압 · 전류로, 전동기를 돌리는 성분이다
②역상분 V₂: 거꾸로 도는 자계를 만드는 성분으로, 발열과 진동의 원인이다
③영상분 V₀: 세 상이 크기와 위상이 같은 성분으로, 중성선으로 흐른다
④평형 삼상이면 역상분과 영상분은 0 이고 정상분만 있어요
회전 자계와 동기속도
Ns = 120fp [rpm]
f: 주파수[Hz], p: 극수. 삼상 회전 자계의 크기는 단상 자계 최댓값의 3/2 배로 일정하다(맥동 없음).
🔄 회전 자계
①2상(공간 90°, 시간 90°): 회전 자계의 크기가 일정하고, 전원 각주파수 ω 로 돈다
②삼상: 회전 자계의 크기는 단상의 3/2 배이고, 역시 ω 로 돈다
③동기속도 N_s = 120f/p 에서 극수 p 가 많을수록 느리게 돈다
④상순(A → B → C 와 A → C → B)을 바꾸면 회전 방향이 반대가 돼요

시험 포인트 총정리

📋 삼상 교류 핵심 공식
①Y · Δ 결선의 선간 · 상 관계와 삼상 전력, 이 셋이 삼상 문제의 뼈대이다
②동기속도 N_s = 120f/P 는 전기기기에서도 계속 쓰여요
Y 결선
VL = √3 VP, IL = IP
중성선이 있어 단상 부하에도 공급
Δ 결선
VL = VP, IL = √3 IP
중성점 없음, 큰 전동기
🔗 Y 와 Δ 의 차이
Y 는 선간 전압이 상전압의 √3 배, Δ 는 선전류가 상전류의 √3 배이고, 전력은 둘 다 √3VIcosθ 이다
삼상 전력
P = √3 VL IL cos θ = 3 VP IP cos θ
Y, Δ 공통. S = √3 VL IL.
동기속도
Ns = 120fp [rpm]
f: 주파수, p: 극수
🎯 시험 포인트
①√3 의 자리: Y 는 전압에, Δ 는 전류에 붙는다
②삼상 전력 P = √3V_LI_Lcosθ 는 Y 든 Δ 든 같다
③Y-Δ 변환: 평형이면 Z_Δ = 3Z_Y
④2전력계법: P = W₁+W₂, Q = √3(W₁−W₂), tanθ = √3(W₁−W₂)/(W₁+W₂)
⑤2전력계법의 부호: θ < 60° 이면 둘 다 양수, θ = 60° 이면 W₂ = 0, θ > 60° 이면 W₂ < 0(역접속)이에요
⑥대칭 좌표법: a = e^(j120°), 1 + a + a² = 0. 영상(V₀) · 정상(V₁) · 역상(V₂)
⑦평형 삼상이면 역상분 · 영상분 = 0 이고 정상분만 있다
⑧회전 자계: N_s = 120f/p, 삼상 자계의 크기는 단상의 3/2 배로 일정
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