비정현파 교류

Non-Sinusoidal AC

비정현파 교류는 여러 차수 사인파(고조파)의 합으로 찌그러진 파형을 설명해요. 푸리에 급수로 분해하고 실효값·왜형률·파형률·파고율로 파형 품질을 숫자로 비교해요. 대칭성에 따라 짝수·코사인 항이 사라지는 규칙이 시험 포인트예요. 고조파 차수 슬라이더로 파형이 어떻게 일그러지고 지표가 변하는지 확인해 봐요.

비정현파 = 여러 사인파의 합주

🔍 왜 비정현파인가?

①현실의 전기 파형은 완벽한 사인파가 아니다. 인버터, 정류기 등이 파형을 왜곡시킨다

②푸리에: "아무리 복잡한 주기 파형도 사인·코사인의 합으로 분해할 수 있다"

③오케스트라 비유: 1차(기본파) = 멜로디, 2차·3차(고조파) = 화음과 색채

고조파를 하나씩 더해보자

고조파 차수3차

🔑 핵심 관찰

①고조파를 1개(기본파)만 쓰면 그냥 사인파: 차수를 높일수록 원래 파형에 가까워진다

②구형파: 홀수 고조파(1,3,5...)만 존재, 진폭 1/n으로 감소

③삼각파: 홀수 고조파만, 진폭이 1/n²으로 빠르게 감소 → 적은 차수로도 잘 근사

푸리에 급수와 대칭성

푸리에 급수

f(t) = a₀2 + Σ(a_n cos nωt + b_n sin nωt)

a₀/2: 직류분(평균값), aₙ: 코사인 계수, bₙ: 사인 계수. n=1이 기본파, n≥2가 고조파.

푸리에 계수

a_n = 2T∫f(t)cos(nωt)dt, b_n = 2T∫f(t)sin(nωt)dt

적분 구간: 한 주기 T. a₀ = (2/T)∫f(t)dt는 평균값의 2배.

⚡ 대칭성으로 계산 줄이기

①우함수 대칭 f(t)=f(−t): bₙ=0 → 코사인 항만 남는다

②기함수 대칭 f(t)=−f(−t): aₙ=0 → 사인 항만 남는다

③반파 대칭 f(t+T/2)=−f(t): 짝수차 고조파=0 → 홀수차만 존재

비정현파의 실효값, 왜형률, 파형률, 파고율

비정현파 실효값

V = √(V₀² + V₁² + V₂² + V₃² + ...)

V₀: 직류분, Vₙ: n차 고조파 실효값. 최대값 기준이면 V = √(V₀² + V₁_m²/2 + V₂_m²/2 + ...).

왜형률 (THD)

ε = √(V₂² + V₃² + ...)V₁ × 100%

기본파(V₁) 대비 고조파 성분의 크기. 왜형률이 높을수록 파형 왜곡이 심하다.

📊 파형 지표 3총사

①왜형률(THD)·파형률·파고율은 모두 "얼마나 정현파에서 벗어났나"를 측정하는 지표

②정현파이면 왜형률=0, 파형률=1.11, 파고율=√2: 이 기준값을 외워두자

파형률

파형률 = 실효값평균값

정현파의 파형률 = π/(2√2) ≈ 1.11. 파형이 뾰족할수록 파형률이 크다.

파고율 (Crest Factor)

파고율 = 최대값실효값

정현파의 파고율 = √2 ≈ 1.414. 파형이 뾰족할수록 파고율이 크다.

비정현파 전력

P = V₀ I₀ + Σ V_n I_n cos θ_n

같은 차수끼리만 전력을 만든다. 다른 차수끼리의 곱은 평균이 0 (직교성).

💡 고조파와 임피던스

①n차 고조파의 주파수 = nf → X_L = nωL (비례↑), X_C = 1/(nωC) (반비례↓)

②같은 R-L-C 회로라도 고조파마다 임피던스가 다르다. 각 차수별로 따로 계산

③고조파 전류는 변압기 손실, 역률 저하, 중성선 과부하의 원인

시험 포인트 총정리

실효값

V = √(ΣV_n²)

직류분 + 각 고조파 실효값의 제곱합의 루트

왜형률·파형률·파고율

왜형률 = √(ΣV_n≥2²)V₁, 파형률 = 실효값평균값, 파고율 = 최대값실효값

정현파 기준: 왜형률=0, 파형률≈1.11, 파고율≈1.414

🎯 시험 포인트

①대칭성 3종: 우함수(bₙ=0), 기함수(aₙ=0), 반파대칭(짝수차=0) 복합 적용 가능

②실효값 계산: 각 성분 실효값의 "제곱합의 루트"이지 단순 합이 아니다

③n차 고조파 리액턴스: X_Ln = nωL, X_Cn = 1/(nωC) 차수별 임피던스 달라짐

④직류분 a₀/2는 파형의 평균값: 반파대칭이면 직류분도 0

⑤왜형률 분모는 기본파(V₁)이지 전체 실효값(V)이 아니다. 혼동 주의

⑥파형률·파고율: 정현파 값(1.11, 1.414)을 암기하고 비정현파와 비교하는 주요 출제 포인트

⑦비정현파 전력: 같은 차수끼리만 전력 생성. 다른 차수 곱의 평균 = 0