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전기기사 회로이론 · 비정현파 교류

Non-Sinusoidal AC

비정현파 교류는 사인파가 아닌 주기 파형을, 기본파와 그 정수배 주파수의 고조파를 더한 것으로 보고 다루는 단원이다. 푸리에 급수로 성분을 나눈 뒤 실효값 · 왜형률 · 파형률 · 파고율로 파형이 사인파에서 얼마나 벗어났는지 숫자로 비교한다. 우함수 · 기함수 · 반파 대칭이면 사라지는 항이 정해져 있어 계산을 크게 줄일 수 있고, 이 규칙이 시험에 자주 나와요. 파형 버튼과 고조파 차수 슬라이더를 움직이면 고조파를 더할수록 합성 파형이 원래 파형에 가까워지는 모습이 보여요.

비정현파는 여러 사인파의 합

🔍 왜 비정현파일까
①실제 전기 파형은 완벽한 사인파가 아니다. 인버터, 정류기 같은 장치가 파형을 일그러뜨린다
②푸리에 급수에 따르면 아무리 복잡한 주기 파형도 사인 · 코사인의 합으로 나눌 수 있다
③주파수가 기본파와 같은 1차 성분을 기본파, 2차 · 3차 같은 정수배 성분을 고조파라 불러요

고조파를 하나씩 더하기

3차
🔑 그림 읽는 법
①고조파를 하나(기본파)만 쓰면 그냥 사인파이고, 차수를 높일수록 원래 파형에 가까워진다
②구형파는 홀수 고조파(1, 3, 5, …)만 있고, 진폭이 1/n 로 준다
③삼각파도 홀수 고조파만 있지만 진폭이 1/n² 로 빨리 줄어, 적은 차수로도 원래 모양이 잘 나와요

푸리에 급수와 대칭성

푸리에 급수
f(t) = a02 + Σ(an cos nωt + bn sin nωt)
a₀/2: 직류분(평균값), aₙ: 코사인 계수, bₙ: 사인 계수. n = 1 이 기본파, n ≥ 2 가 고조파이다.
푸리에 계수
an = 2T∫f(t)cos(nωt)dt, bn = 2T∫f(t)sin(nωt)dt
적분 구간은 한 주기 T 이다. a₀ = (2/T)∫f(t)dt 는 평균값의 2배이다.
⚡ 대칭성으로 계산 줄이기
①우함수 대칭 f(t) = f(−t): bₙ = 0 이라 코사인 항만 남는다
②기함수 대칭 f(t) = −f(−t): aₙ = 0 이라 사인 항만 남는다
③반파 대칭 f(t + T/2) = −f(t): 짝수차 고조파가 0 이라 홀수차만 남아요

비정현파의 실효값, 왜형률, 파형률, 파고율

비정현파 실효값
V = √(V02 + V12 + V22 + V32 + ...)
V₀: 직류분, Vₙ: n차 고조파의 실효값. 최댓값으로 쓰면 V = √(V₀² + V₁m²/2 + V₂m²/2 + …).
왜형률(THD)
ε = √(V22 + V32 + ...)V1 × 100%
기본파 V₁ 에 대한 고조파 성분의 크기이다. 왜형률이 클수록 파형이 많이 일그러진 거예요.
📊 파형 지표 셋
①왜형률(THD) · 파형률 · 파고율은 모두 파형이 사인파에서 얼마나 벗어났는지 재는 지표이다
②사인파의 기준값은 왜형률 = 0, 파형률 ≈ 1.11, 파고율 = √2 이에요
파형률
파형률 = 실효값평균값
사인파의 파형률 = π/(2√2) ≈ 1.11. 파형이 뾰족할수록 파형률이 크다.
파고율(Crest Factor)
파고율 = 최대값실효값
사인파의 파고율 = √2 ≈ 1.414. 파형이 뾰족할수록 파고율이 크다.
비정현파 전력
P = V0 I0 + Σ Vn In cos θn
같은 차수의 전압과 전류끼리만 평균 전력을 만든다. 다른 차수끼리 곱하면 평균이 0 이에요(직교성).
💡 고조파와 임피던스
①n차 고조파의 주파수는 nf 라서 X_L = nωL 로 커지고, X_C = 1/(nωC) 로 작아진다
②같은 R-L-C 회로라도 고조파마다 임피던스가 달라, 차수마다 따로 셈한다
③고조파 전류는 변압기 손실 증가, 역률 저하, 중성선 과부하(제3고조파가 중성선에서 더해짐)의 원인이 돼요

시험 포인트 총정리

실효값
V = √(ΣVn2)
직류분과 각 고조파 실효값의 제곱합의 제곱근
왜형률 · 파형률 · 파고율
왜형률 = √(ΣVn≥22)V1, 파형률 = 실효값평균값, 파고율 = 최대값실효값
사인파 기준: 왜형률 = 0, 파형률 ≈ 1.11, 파고율 ≈ 1.414
🎯 시험 포인트
①대칭 세 가지: 우함수(bₙ = 0), 기함수(aₙ = 0), 반파 대칭(짝수차 = 0)이고, 여러 대칭이 함께 있으면 함께 적용한다
②실효값은 각 성분 실효값을 제곱해 더한 뒤 제곱근을 씌운다. 그냥 더하면 틀린다
③n차 고조파의 리액턴스는 X_Ln = nωL, X_Cn = 1/(nωC) 로 차수마다 다르다
④직류분 a₀/2 는 파형의 평균값이고, 반파 대칭이면 직류분도 0 이에요
⑤왜형률의 분모는 기본파 V₁ 이지 전체 실효값 V 가 아니다
⑥파형률 · 파고율은 사인파의 값(1.11, 1.414)과 비교하는 문제가 자주 나온다
⑦비정현파 전력은 같은 차수끼리만 생기고, 다른 차수 곱의 평균은 0 이다
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