교류회로

AC Circuit

교류회로는 크기와 방향이 주기적으로 바뀌는 전압·전류를 페이저와 임피던스로 다루는 단원이에요. 저항·유도·용량 리액턴스를 합친 Z와 어드미턴스 Y로 회로를 풀고, 역률은 유효전력 비율을 보여 줘요. 직렬 공진에서는 XL=XC가 되는 주파수에서 임피던스가 최소가 되고 전류가 커져요. 주파수와 R·XL 슬라이더를 바꿔 페이저·임피던스·공진 근처 동작이 어떻게 변하는지 확인해 봐요.

교류 = 크기와 방향이 주기적으로 변하는 전기

🔍 직류 vs 교류

①직류(DC): 건전지처럼 항상 한 방향. 시간 그래프가 수평선

②교류(AC): 콘센트처럼 방향이 왔다갔다. 시간 그래프가 사인 곡선

③한국 가정용: 220V, 60Hz → 1초에 60번 왕복한다

주파수 배율1×f

전류 위상 지연30°

🔑 핵심 관찰

①파란 실선 = 전압 v(t), 주황 점선 = 전류 i(t)

②위상(θ)이 양수이면 전류가 전압보다 "뒤진다" (지상, 유도성)

③주파수가 높을수록 같은 시간에 더 많이 진동한다

페이저: 회전하는 화살표로 교류를 다루다

페이저 표현

V = V_m∠θ = V_m(cos θ + j sin θ)

복소수 표현: 크기(V_m)와 위상(θ)으로 정현파를 대수적으로 다룰 수 있다. j = √(−1).

R, L, C 소자 리액턴스

R: V = IR, L: X_L = ωL = 2πfL, C: X_C = 1ωC = 12πfC

R: 동위상, L: V가 I보다 90° 앞섬(ELI), C: I가 V보다 90° 앞섬(ICE).

⚡ ELI the ICE man (암기법)

①R: V와 I 동위상 → θ = 0°

②L: V가 I보다 90° 앞선다 → "ELI" (E가 L에서 I보다 앞)

③C: I가 V보다 90° 앞선다 → "ICE" (I가 C에서 E보다 앞)

임피던스·어드미턴스와 역률

R (저항)30 Ω

X_L (유도 리액턴스)40 Ω

X_C (용량 리액턴스)0 Ω

직렬 임피던스

Z = R + jX = R + j(X_L − X_C), |Z| = √(R² + X²)

X > 0: 유도성(지상), X < 0: 용량성(진상). 임피던스 삼각형의 빗변이 |Z|.

병렬 어드미턴스

Y = G + j(B_C − B_L), |Y| = √(G² + B²)

G = 1/R [S], B_L = 1/(ωL), B_C = ωC. 어드미턴스 Y = 1/Z. 병렬회로는 Y로 풀면 편하다.

역률

cos θ = R|Z| = G|Y| = PS

역률이 1에 가까울수록 전력 이용 효율이 높다. 역률 개선 = 무효전력(Q) 줄이기.

공진: X_L = X_C가 되는 마법의 주파수

🔍 공진이란?

①유도 리액턴스(X_L)와 용량 리액턴스(X_C)가 정확히 같아지는 주파수가 있다

②이 주파수에서 직렬회로는 순저항(Z=R)이 되어 전류가 최대로 흐르고

③병렬회로는 임피던스가 최대가 되어 전류가 최소로 흐른다. 서로 정반대!

Q (선택도)5

🔑 Q와 대역폭의 관계

①Q가 크면 곡선이 뾰족 → 좁은 대역폭(BW) → 높은 선택도

②Q가 작으면 곡선이 뭉뚝 → 넓은 대역폭 → 낮은 선택도

③슬라이더를 움직여보면 BW = f₀/Q 관계가 눈에 보인다

공진 주파수

ω₀ = 1√(LC), f₀ = 12π√(LC)

X_L = X_C일 때 공진 발생. 직렬: Z = R(최소), 전류 최대, 역률 = 1.

직렬 공진 선택도

Q = ω₀ LR = 1ω₀ CR = 1R√(LC), BW = f₀Q

공진 시 V_L = V_C = QV (Q배 확대). Q가 클수록 날카롭고 선택적.

병렬 공진

Z = LCR (최대), Q = Rω₀ L = ω₀ CR = R√(CL)

B_L = B_C일 때 Z 최대, 전류 최소. 직렬공진과 Q 공식의 분자·분모가 뒤집힌다.

교류 전력: 유효·무효·피상의 삼각관계

🔍 왜 3가지 전력이 필요한가?

①교류에서는 전압과 전류의 위상차 때문에 "보내는 전력 ≠ 쓰이는 전력"

②유효전력(P): 실제로 일을 하는 전력. 열, 빛, 동력으로 변환

③무효전력(Q): L·C에 저장했다 돌려보내기를 반복. 일은 안 하지만 전선에 전류를 흘린다

교류 전력 3종

P = VI cos θ = I²R, Q = VI sin θ = I²X, S = VI

P: 유효전력[W], Q: 무효전력[var], S: 피상전력[VA]. 전력 삼각형: S² = P² + Q².

복소전력

S = P + jQ = VI^*

I*는 전류의 켤레복소수. 실수부 = P(유효), 허수부 = Q(무효). 켤레(*)를 쓴다는 점에 주의.

최대전력전달 (교류)

Z_L = Z_s^* (켤레 복소수): R_L = R_s, X_L = −X_s

부하 임피던스가 소스의 켤레복소수일 때 최대전력 전달. P_max = |V_s|²/(4R_s).

💡 역률 개선

①유도성 부하(모터 등)에 병렬 커패시터 추가 → 무효전력 Q 상쇄

②cos θ 증가 → 같은 유효전력에 필요한 전류 감소 → 전력 손실 감소

③진상 역률(과보상)도 문제: 적정 역률 0.95~1.0 유지가 목표

시험 포인트 총정리

리액턴스

X_L = ωL = 2πfL, X_C = 1ωC = 12πfC

L: 주파수 비례, C: 주파수 반비례

공진 주파수

f₀ = 12π√(LC)

직렬: Z=R(최소), 병렬: Z=L/CR(최대)

🎯 시험 포인트

①ELI the ICE man: L에서 E가 I보다 앞서고, C에서 I가 E보다 앞선다

②직렬 공진: X_L=X_C → Z=R(최소), I 최대, V_L=V_C=QV(Q배 확대)

③병렬 공진: B_L=B_C → Z=L/(CR)(최대), I 최소. 직렬과 반대!

④직렬 Q = ωL/R, 병렬 Q = R/(ωL): 분자·분모가 뒤집힌다

⑤교류 최대전력: Z_L = Z_s*(켤레) → R_L=R_s, X_L=−X_s

⑥복소전력 S = P+jQ = VI*: I의 켤레(*)를 쓴다는 점 주의

⑦역률 개선: 유도성 부하에 병렬 C 추가, 어드미턴스 Y로 계산이 편하다