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전기기사 회로이론 · 교류회로

교류 회로는 크기와 방향이 주기적으로 바뀌는 전압 · 전류를 페이저와 임피던스로 다루는 단원이다. 저항과 유도 · 용량 리액턴스를 합친 임피던스 Z(병렬이면 어드미턴스 Y)로 회로를 풀고, 전압과 전류의 위상차가 역률과 유효 · 무효 전력을 정한다. X_L = X_C 가 되는 공진 주파수에서 직렬 회로는 임피던스가 가장 작아 전류가 가장 크고, 병렬 회로는 반대로 임피던스가 가장 커요. 아래 슬라이더로 주파수 배율, R · X_L · X_C, Q 를 바꾸면 파형의 위상차, 임피던스 삼각형, 공진 곡선이 차례로 바뀌어요.

교류는 크기와 방향이 주기적으로 바뀐다

🔍 직류와 교류
①직류(DC)는 건전지처럼 늘 한 방향으로 흘러, 시간 그래프가 수평선이다
②교류(AC)는 콘센트처럼 방향이 계속 바뀌어, 시간 그래프가 사인 곡선이다
③우리나라 가정용은 220V, 60Hz 라 1초에 60번 왕복해요
1×f
30°
🔑 그림 읽는 법
①파란 실선은 전압 v(t), 주황 점선은 전류 i(t)이다
②θ 가 양수이면 전류가 전압보다 뒤진다(지상, 유도성)
③주파수가 높을수록 같은 시간 동안 더 많이 진동해요

페이저: 도는 화살표로 교류 다루기

페이저 표현
V = Vm∠θ = Vm(cos θ + j sin θ)
크기 Vm 과 위상 θ 를 복소수로 나타내면 정현파를 대수 계산으로 다룰 수 있다. j = √(−1).
R, L, C 소자의 리액턴스
R: V = IR, L: XL = ωL = 2πfL, C: XC = 1ωC = 12πfC
R 은 같은 위상, L 은 V 가 I 보다 90° 앞서고, C 는 I 가 V 보다 90° 앞선다.
⚡ 전압과 전류, 누가 앞설까
①저항: 전압과 전류가 함께 간다. 위상차 0°
②코일: 전압이 전류보다 90° 앞선다
③축전기: 전류가 전압보다 90° 앞서요

임피던스 · 어드미턴스와 역률

30 Ω
40 Ω
0 Ω
직렬 임피던스
Z = R + jX = R + j(XL − XC), |Z| = √(R2 + X2)
X > 0 이면 유도성(지상), X < 0 이면 용량성(진상)이다. 임피던스 삼각형의 빗변이 |Z| 이다.
병렬 어드미턴스
Y = G + j(BC − BL), |Y| = √(G2 + B2)
G = 1/R [S], BL = 1/(ωL), BC = ωC. 어드미턴스 Y = 1/Z 이고, 병렬 회로는 Y 로 풀면 편해요.
역률
cos θ = R|Z| = G|Y| = PS
역률이 1 에 가까울수록 같은 전류로 더 많은 유효 전력을 보낸다. 역률 개선은 무효 전력 Q 를 줄이는 일이다.

공진: X_L = X_C 가 되는 주파수

🔍 공진
①유도 리액턴스 X_L 과 용량 리액턴스 X_C 가 꼭 같아지는 주파수가 있다
②이 주파수에서 직렬 회로는 순저항(Z = R)이 되어 전류가 가장 크게 흐른다
③병렬 회로는 반대로 임피던스가 가장 커져 전류가 가장 작게 흘러요
5
🔑 Q 와 대역폭
①Q 가 크면 곡선이 뾰족하고 대역폭(BW)이 좁아 선택도가 높다
②Q 가 작으면 곡선이 뭉툭하고 대역폭이 넓어 선택도가 낮다
③Q 슬라이더를 움직이면 BW = f₀/Q 관계가 곡선 폭으로 드러나요
공진 주파수
ω0 = 1√(LC), f0 = 12π√(LC)
XL = XC 일 때 공진한다. 직렬 공진에서는 Z = R(최소), 전류 최대, 역률 = 1 이에요.
직렬 공진 선택도
Q = ω0 LR = 1ω0 CR = 1R√(LC), BW = f0Q
공진 때 VL = VC = QV(전원 전압의 Q 배)이다. Q 가 클수록 곡선이 날카롭다.
병렬 공진
Z = R(최대), Q = Rω0 L = ω0 CR = R√(CL)
R · L · C 를 모두 병렬로 이으면 BL = BC 일 때 Z = R 로 가장 크고 전류는 가장 작다. 코일 저항 R 이 코일과 직렬인 실제 병렬 회로는 Z = L/(CR) 이다. Q 는 직렬과 분자 · 분모가 뒤집힌다.

교류 전력: 유효 · 무효 · 피상 전력

🔍 왜 전력이 셋일까
①교류에서는 전압과 전류의 위상차 때문에 보내는 전력과 실제로 쓰이는 전력이 다르다
②유효 전력 P 는 열, 빛, 동력으로 바뀌어 실제로 일을 하는 전력이다
③무효 전력 Q 는 L · C 에 저장됐다가 돌아오기를 되풀이해, 일은 하지 않지만 전선에 전류를 흘려요
교류 전력 셋
P = VI cos θ = I2R, Q = VI sin θ = I2X, S = VI
P: 유효 전력[W], Q: 무효 전력[var], S: 피상 전력[VA]. 전력 삼각형에서 S² = P² + Q².
복소 전력
S = P + jQ = VI*
I* 는 전류의 켤레 복소수이다. 실수부가 P(유효), 허수부가 Q(무효)이고, 켤레를 쓰는 점을 놓치기 쉽다.
최대 전력 전달(교류)
ZL = Zs*(켤레 복소수): RL = Rs, XL = −Xs
부하 임피던스가 전원 임피던스의 켤레 복소수일 때 전력이 가장 많이 전달된다. Pmax = |Vs|²/(4Rs).
💡 역률 개선
①전동기 같은 유도성 부하에 커패시터를 병렬로 달아 무효 전력 Q 를 상쇄한다
②cos θ 가 커지면 같은 유효 전력에 필요한 전류가 줄어 선로 손실이 준다
③지나치게 보상해 진상 역률이 되어도 문제라서, 역률 0.95~1.0 을 지키는 것이 목표예요

시험 포인트 총정리

리액턴스
XL = ωL = 2πfL, XC = 1ωC = 12πfC
L 은 주파수에 비례, C 는 주파수에 반비례
공진 주파수
f0 = 12π√(LC)
직렬: Z = R(최소), 병렬: Z = R(RLC 병렬) 또는 L/CR(실제 회로)로 최대
🎯 시험 포인트
①코일에서는 전압이 전류보다 앞서고, 축전기에서는 전류가 전압보다 앞선다
②직렬 공진은 X_L = X_C 에서 Z = R(최소), I 최대, V_L = V_C = QV(Q 배 확대)
③병렬 공진은 B_L = B_C 에서 Z 최대(RLC 병렬은 R, 코일 저항이 직렬인 실제 회로는 L/(CR)), I 최소로 직렬과 반대예요
④직렬 Q = ωL/R, 병렬 Q = R/(ωL) 로 분자 · 분모가 뒤집힌다
⑤교류 최대 전력: Z_L = Z_s*(켤레) → R_L = R_s, X_L = −X_s
⑥복소 전력 S = P + jQ = VI* 에서 I 의 켤레를 쓴다
⑦역률 개선은 유도성 부하에 병렬 C 를 달며, 어드미턴스 Y 로 셈하면 편하다
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