전기기사 회로이론 · 회로망 정리

Network Theorems

회로망 정리는 복잡한 회로를 테브난 · 노턴 등가로 줄이고, 부하에 전력이 가장 많이 전달되는 조건을 찾는 도구들이다. 망전류법과 마디전압법으로 연립 방정식을 세워 체계적으로 풀고, 직 · 병렬로 안 풀리는 브리지는 Δ-Y 변환으로, 병렬 전원은 밀만의 정리로 줄인다. 결국 V_Th · R_Th · R_L 세 값의 관계만 잡으면 부하 전력과 효율이 바로 나와요. 테브난 전압 · 저항과 부하 저항 슬라이더를 움직이면 부하 전력 막대가 R_L = R_Th 에서 가장 길어지는 것이 보여요.

복잡한 회로를 간단히 푸는 도구

🔍 왜 회로망 정리가 필요할까

①KVL · KCL 만으로도 모든 회로를 풀 수 있지만 연립 방정식이 너무 커진다

②회로망 정리는 조건이 맞을 때 회로를 단순하게 바꾸는 수학적 도구이다

③구하려는 곳만 남기고 나머지를 등가 회로로 묶어 계산을 줄여요

⚡ 중첩의 정리

①선형 회로에 전원이 여럿이면 전원을 하나씩만 켜고 나머지는 끈다

②전압원을 끄면 단락, 전류원을 끄면 개방이다

③각 응답을 구해 더하면 원래 회로의 응답이 돼요(선형성 덕분)

테브난 등가: 어떤 회로든 V 하나와 R 하나로

V_Th(테브난 전압)24 V

R_Th(테브난 저항)8 Ω

R_L(부하 저항)8 Ω

🔑 그림 읽는 법

①R_L = R_Th = 8Ω 일 때 부하에 전력이 가장 많이 전달된다(최대 전력 전달 정리)

②지금 P_L = 18.0W, 최대 = 18.0W

③R_L 을 바꿔 보면 R_L = R_Th 근처에서 전력 막대가 가장 길어져요

회로망 정리 핵심 공식

테브난 정리

V_Th = V_oc, R_Th = V_oc / I_sc

V_oc: 단자 개방 전압, I_sc: 단자 단락 전류. 복잡한 회로를 V_Th 와 R_Th 의 직렬로 바꾼다.

노턴 정리

I_N = I_sc, R_N = R_Th

테브난의 쌍대로, 전류원 I_N 과 병렬 R_N 으로 바꾼다. I_N = V_Th / R_Th.

최대 전력 전달

P_max = V_Th² / (4R_Th)(R_L = R_Th 일 때)

부하 저항이 내부 저항과 같을 때 부하에 전력이 가장 많이 전달된다. 이때 효율은 50% 예요.

💡 테브난 · 노턴의 쓰임

①테브난 · 노턴은 복잡한 회로를 단순한 등가로 줄이는 도구이다

②최대 전력은 R_L = R_Th 일 때라서, 테브난 등가부터 구해야 풀 수 있어요

밀만의 정리

V = (Σ Vₖ/Zₖ) / (Σ 1/Zₖ)

전압원과 임피던스를 이은 가지 여럿이 한 노드에 병렬로 붙어 있을 때 노드 전압을 한 번에 구한다.

체계적 해석법: 망전류법, 마디전압법, Δ-Y 변환

망전류법(메시 해석)

메시마다 순환 전류 I_m 을 정하고 KVL 로 연립 방정식

메시 수만큼 방정식이 생긴다. 전류원이 있으면 슈퍼메시를 쓰고, 평면 회로에만 쓸 수 있다.

마디전압법(노드 해석)

기준 마디를 정하고 각 마디에 KCL 로 연립 방정식

(마디 수 − 1)개의 방정식이 생긴다. 전압원이 있으면 슈퍼노드를 쓰고, 평면이 아닌 회로에도 쓸 수 있다.

🔄 회로 변환의 핵심 도구

①망전류법 · 마디전압법은 연립 방정식으로 푸는 체계적인 방법이다

②Δ-Y 변환은 브리지처럼 직 · 병렬로 안 풀리는 회로에서 꼭 필요해요

Δ → Y 변환

R_a = R_ab R_caR_ab + R_bc + R_ca

Δ(삼각) 결선을 Y(성형)로 바꾼다. 평형이면 R_Y = R_Δ/3.

Y → Δ 변환

R_ab = R_a R_b + R_b R_c + R_c R_aR_c

Y 결선을 Δ 로 바꾼다. 평형이면 R_Δ = 3R_Y 이고, 분모가 맞은편 저항이라는 점이 핵심이다.

💡 해석법 고르기

①전원이 여럿이면 중첩의 정리, 또는 마디전압법 · 망전류법

②특정 부하의 전류 · 전력만 필요하면 테브난 · 노턴 등가

③병렬 전원과 임피던스가 있으면 밀만의 정리가 가장 빠르다

④평형이 아닌 브리지는 Δ-Y 변환 뒤 직 · 병렬 합성으로 풀어요

행렬 해석과 과도 현상 기초

이 장의 본론은 테브난 · 노턴이다. 아래 Z · Y 행렬은 4단자 회로망 장, RL · RC 시정수는 과도 현상 장에서 자세히 다룬다.

Z 행렬(임피던스 파라미터)

V₁ = Z₁₁I₁ + Z₁₂I₂, V₂ = Z₂₁I₁ + Z₂₂I₂

Z₁₁: 포트 1 구동점 임피던스(I₂ = 0), Z₁₂: 전달 임피던스. 가역 회로이면 Z₁₂ = Z₂₁.

Y 행렬(어드미턴스 파라미터)

I₁ = Y₁₁V₁ + Y₁₂V₂, I₂ = Y₂₁V₁ + Y₂₂V₂

[Y] = [Z]⁻¹. Y₁₁: 포트 1 구동점 어드미턴스(V₂ = 0). 4단자망 해석의 기초예요.

⏱️ 행렬에서 과도 현상으로

①Z · Y 행렬은 포트가 여럿인 회로의 정상 상태를 다루는 도구이다

②과도 현상은 스위치를 켜고 끄는 순간의 시간 영역 해석이고, 시정수 τ 가 핵심이에요

RL 직렬 과도 응답

i(t) = VR(1 − e^−t/τ), τ = LR

직류 전원을 걸면 전류가 지수 함수로 늘어난다. 시정수 τ 는 최종값의 63.2% 에 이르는 시간이다.

RC 직렬 과도 응답

v_C(t) = V(1 − e^−t/τ), τ = RC

커패시터 전압이 지수 함수로 늘어나, 5τ 뒤에는 최종값의 99.3% 에 이른다(사실상 정상 상태).

⚡ 시정수의 핵심

①시정수 τ 는 RL 회로 = L/R, RC 회로 = RC 이고 단위는 초[s]이다

②1τ = 63.2%, 2τ = 86.5%, 3τ = 95.0%, 5τ ≈ 99.3%(정상 상태로 봄)

③L 이 크거나 R 이 작으면 τ 가 커져 천천히 변해요

시험 포인트 총정리

테브난 · 노턴

V_Th = V_oc, R_Th = V_ocI_sc, I_N = I_sc

V_Th + R_Th 직렬 ↔ I_N ∥ R_N 병렬(서로 바꿀 수 있음)

최대 전력 · Δ-Y

P_max = V_Th²4R_Th (R_L = R_Th), R_Y = R_Δ3

최대 전력 때 효율 = 50%. 평형 Δ-Y: R_Δ = 3R_Y.

시정수

RL: τ = LR, RC: τ = RC

과도 현상 장 내용. 1τ = 63.2%, 5τ ≈ 99.3%(정상 상태)

🎯 시험 포인트

①테브난 R_Th 는 독립 전원을 모두 끈 뒤(전압원 → 단락, 전류원 → 개방) 단자에서 본 등가 저항이다

②노턴과 테브난은 I_N = V_Th/R_Th, R_N = R_Th 로 바꾼다

③최대 전력 전달 때 효율은 50% 라서, 전력이 최대인 것과 효율이 최대인 것은 다르다

④중첩 정리는 전압원을 단락, 전류원을 개방해 끄고, 전력은 중첩할 수 없어요

⑤밀만의 정리는 분모 ΣY, 분자 Σ(V·Y)로 병렬 전원의 노드 전압을 한 번에 구한다

⑥Δ → Y 는 분모가 Δ 세 저항의 합, Y → Δ 는 분모가 맞은편 Y 저항이다

⑦Z · Y 행렬: 가역 회로이면 Z₁₂ = Z₂₁, [Y] = [Z]⁻¹

⑧시정수: RL 은 τ = L/R, RC 는 τ = RC, 1τ = 63.2%, 5τ 면 정상 상태

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마지막 수정 2026-10-20

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