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전기기사 회로이론 · 결합회로

Coupled Circuit

결합 회로는 두 코일이 자속을 함께 써서, 한쪽 전류가 바뀌면 다른 쪽에 기전력이 생기는 회로로 그 정도를 상호 인덕턴스 M 으로 나타낸다. 결합 계수 k 와 극성(도트)이 유도 전압의 크기와 방향을 정하고, T형 등가 회로나 반사 임피던스로 1차와 2차를 하나로 묶어 푼다. 변압기를 회로로 다루는 모델이 바로 이것이라, 앞의 변압기 단원과 그대로 이어져요. 결합 계수와 1차 전류 슬라이더를 움직이면 두 코일을 함께 지나는 자속선의 수와 2차 쇄교 자속이 바뀌어요.

두 코일 사이의 자기적 연결

🔍 유도 결합
①한 코일에 전류가 흐르면 자속이 생기고, 그 일부가 이웃 코일을 지나간다
②지나가는 자속이 바뀌면 이웃 코일에 기전력이 유도된다(패러데이 법칙)
③변압기가 바로 이 원리로, 전선으로 잇지 않고도 에너지를 넘겨줘요

결합 계수 k 바꾸기

0.6
5 A
🔑 그림 읽는 법
①k = 0 이면 결합이 없어 두 코일이 따로 놀고, 함께 지나는 자속선이 없다
②k = 1 이면 누설 자속이 없는 완전 결합으로, 이상적인 변압기이다
③실제 변압기는 k ≈ 0.95~0.99, 공심 코일은 k ≈ 0.01~0.3 정도예요

상호 인덕턴스와 결합 공식

상호 인덕턴스
M = k√(L₁L₂)
M: 상호 인덕턴스[H], k: 결합 계수(0 ≤ k ≤ 1), L₁, L₂: 각 코일의 자기 인덕턴스.
유도 기전력
e₂ = −M × dI₁/dt
1차 전류가 바뀌는 빠르기에 비례해 2차에 기전력이 유도된다.
가동 · 차동 접속
가동: LT = L₁ + L₂ + 2M, 차동: LT = L₁ + L₂ − 2M
극성 표시(도트)로 가른다. 직렬로 이을 때 전류가 두 코일의 도트 쪽으로 함께 들어가면 가동(가극성) 접속이다.
🔑 기본 개념에서 회로 해석으로
①M, e₂, 가동 · 차동 접속이 결합 회로의 기본 도구이다
②이 도구로 결합 회로의 전압 방정식을 세워 풀어요
M 측정법
M = L가동 − L차동4
가동 접속과 차동 접속의 합성 인덕턴스 차이로 M 을 구한다.
결합 회로 연립 방정식
V₁ = jωL₁I₁ + jωMI₂, V₂ = jωMI₁ + jωL₂I₂
1차와 2차를 함께 KVL 로 풀어야 한다. 극성에 따라 M 항의 부호가 바뀐다.
반사 임피던스
Zr = ω2M2Z2
2차 부하가 1차에 비쳐 나타나는 임피던스이다. 1차에서 본 전체 임피던스 = jωL₁ + Zr.

등가 회로 변환

T형 등가 회로
La = L₁ − M, Lb = L₂ − M, Lc = M
상호 인덕턴스를 없애고 자기 인덕턴스 셋으로 나타낸다(가동 접속 기준).
이상적인 변압기 등가
a = N2N1 = V2V1 = I1I2
k = 1, 손실 없음. Z₁ = Z₂/a²(2차를 1차로 환산). n = N₁/N₂ = 1/a 로 쓰면 Z₁' = n²Z₂.
💡 반사 임피던스의 뜻
①2차 부하 Z_L 은 1차에 Z_L/a² 으로 비쳐 나타난다
②이것이 변압기의 임피던스 변환 기능 Z₁ = Z₂/a² 이다
③임피던스 정합에 써서 최대 전력 전달 조건을 맞출 수 있어요

총정리

📋 결합 회로 핵심 공식 넷
①상호 인덕턴스, 극성, 권수비, 임피던스 변환이 결합 회로 문제의 뼈대이다
②M 구하기, 극성 가리기, 등가 회로 변환이 되풀이해 나와요
상호인덕턴스
M = k√(L₁L₂)
0 ≤ k ≤ 1
가동 · 차동
가동: +2M / 차동: −2M
직렬 합성 인덕턴스
🔗 결합과 변환
상호 인덕턴스와 극성 판별이 기본이고, 이것으로 등가 회로를 바꾼다
권수비
a = N₂/N₁ = √(L₂/L₁)
이상적 변압기
임피던스 변환
Z₁ = Z₂ / a²
1차로 환산
🎯 시험 포인트
①극성 표시(도트): 전류가 두 코일의 도트 쪽으로 함께 들어가면 가동(+M), 반대면 차동(−M)이다
②결합 계수 k = M/√(L₁L₂) 이므로 M ≤ √(L₁L₂) 가 늘 성립한다
③M 측정: 가동 접속(L₁+L₂+2M)과 차동 접속(L₁+L₂−2M)의 차로 M = (L가동 − L차동)/4
④결합 회로 방정식은 V₁ = jωL₁I₁ + jωMI₂, V₂ = jωMI₁ + jωL₂I₂ 이고, 극성에 따라 M 의 부호가 바뀐다
⑤반사 임피던스 = ω²M²/Z₂ 로, 2차 부하가 1차에 주는 영향이다
⑥T형 등가에서 L₁ − M 은 강하게 결합하면 음수가 될 수 있고, 그대로 음의 인덕턴스로 다뤄요
⑦이상 변압기: Z₁ = Z₂/a²(a = N₂/N₁) 또는 Z₁' = n²Z₂(n = N₁/N₂)처럼 권수비를 어느 쪽으로 잡았는지 먼저 본다
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