Teorema del impulso y la cantidad de movimiento
Si la energía cinética es lo que una fuerza acumula a lo largo de una distancia, la cantidad de movimiento es lo que acumula a lo largo del tiempo. El producto de la masa por la velocidad, p = m v, se llama cantidad de movimiento, y el impulso J = F Δt que una fuerza acumula al actuar durante un tiempo Δt cambia esa cantidad de movimiento exactamente en lo mismo. La relación no es más que ΣF = m a multiplicada por el tiempo, pero resulta especialmente útil cuando la fuerza cambia deprisa y de forma complicada, como en un choque. Esta lección trata por orden el impulso, la relación entre impulso y cantidad de movimiento, la conservación de la cantidad de movimiento, los golpes cortos y largos, y los choques.
El impulso se lee como un área en una gráfica de fuerza frente a tiempo. La figura de abajo es una gráfica con el tiempo, t, en horizontal y la fuerza, F, en vertical, donde una fuerza constante de 8 N actúa durante un tiempo Δt. El impulso J = F Δt es igual al área del rectángulo dorado bajo esa línea: con el valor inicial Δt = 2,5 s, J = 20,0 N·s, y al alargar Δt a 5,0 s se duplica a 40,0 N·s. Cuando la fuerza cambia con el tiempo, el impulso sigue siendo el área bajo la gráfica de F frente a t, la integral J = ∫ F dt. La unidad del impulso, el N·s, es la misma que la de la cantidad de movimiento, el kg·m/s, porque las dos magnitudes son la misma cosa vista desde lados distintos. El impulso es además un vector que apunta en el mismo sentido que la fuerza.
Cuánto cambia el momento un impulso se puede contar con una sola caja. La caja de 2 kg de la figura de abajo empieza con una cantidad de movimiento de 4 kg·m/s, es decir, una rapidez de 2 m/s, y el impulso J se añade en dorado después de la cantidad de movimiento inicial p0 en la barra de abajo. Con el valor inicial J = 8,0 N·s la cantidad de movimiento pasa a 12,0 kg·m/s y la rapidez sube a 6,00 m/s; al subir J a 20,0 N·s la cantidad de movimiento es de 24,0 kg·m/s y la rapidez de 12,00 m/s. Como el aumento de la cantidad de movimiento siempre es igual a J, J = Δp = m v − m v0, lo que se llama teorema del impulso. A diferencia de la energía cinética, la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad, así que impulsos iguales siempre añaden la misma rapidez. Aquí cada 1 N·s de impulso añade 0,5 m/s.
Si no entra ninguna fuerza desde fuera, el momento total no cambia. La figura de abajo es el instante en que un muelle comprimido entre dos carritos se suelta y los separa, sin ninguna fuerza que venga de fuera de los carritos. Los dos estaban en reposo, así que la cantidad de movimiento total era 0, y después debe seguir siendo 0, de modo que los dos carritos reciben cantidades de movimiento de igual tamaño y sentido opuesto. En la figura cada carrito recibe 12 kg·m/s, así que el carrito de 3 kg de la derecha sale a 4,0 m/s y el de la izquierda, con el valor inicial de 2 kg, a 6,0 m/s. Al subir la masa izquierda a 3 kg las dos rapideces se igualan en 4,0 m/s, y al subirla a 6 kg la rapidez izquierda baja a 2,0 m/s, de modo que el carrito más pesado retrocede más despacio. El retroceso de un cañón y el cohete que expulsa gas hacia atrás para avanzar vienen ambos de esta conservación de la cantidad de movimiento, m₁ v₁ = m₂ v₂.
Incluso con el mismo impulso, el tamaño de la fuerza depende mucho de si el impulso se entrega deprisa o despacio. La figura de abajo es un rectángulo con el impulso fijo en 40 N·s: al cambiar el tiempo de contacto Δt solo cambia su forma, no su área, así que F = JΔt. Con el valor inicial Δt = 1,20 s, F = 33 N; al acortarlo a 0,50 s queda un rectángulo alto y estrecho de 80 N, y al alargarlo a 2,50 s uno bajo y ancho de 16 N. Un cuerpo que debe detenerse desde cierta rapidez tiene que recibir un impulso fijo, así que alargar el tiempo de frenado es la única forma de reducir la fuerza. Los airbags, flexionar las rodillas al aterrizar y el relleno de los embalajes reducen la fuerza alargando el tiempo de contacto.
En un choque los dos cuerpos se empujan con fuerzas de igual tamaño y sentido opuesto, así que sus cambios de cantidad de movimiento también son iguales y opuestos, y la cantidad de movimiento total se conserva. La figura de abajo es un carrito de 2 kg que va a 4 m/s y choca con otro carrito de la misma masa en reposo: antes del choque la cantidad de movimiento total es de 8 kg·m/s y la energía cinética de 16 J. Al elegir «Quedan unidos», el estado inicial, los dos carritos se mueven juntos a 2 m/s, así que la cantidad de movimiento sigue en 8 kg·m/s pero la energía cinética baja a 8 J, la mitad perdida. Al elegir «Rebotan» el carrito que se movía se detiene y el golpeado sale a 4 m/s, conservando tanto la cantidad de movimiento como la energía cinética; un choque así se llama perfectamente elástico. La cantidad de movimiento se conserva en todo choque, pero la energía cinética solo en uno perfectamente elástico, y la energía perdida en un choque en que los cuerpos quedan unidos se va en sonido, calor y deformación.