공통수학›방정식과 부등식

이차방정식

Quadratic Equations

판별식 — 근의 개수를 미리 안다

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² - 4ac로 근의 존재 여부를 바로 알 수 있습니다. 포물선이 x축과 만나는 방식으로 직관을 잡아봅시다.

-2
-3
💡 판별식의 의미
①D > 0: 포물선이 x축을 두 점에서 만남 → 서로 다른 두 실근
②D = 0: 포물선이 x축에 접함 → 중근 (한 점)
③D < 0: 포물선이 x축과 만나지 않음 → 허근 (복소수 근)
근의 공식
이차방정식의 근의 공식
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
ax² + bx + c = 0의 해
판별식
D = b² - 4ac
D > 0: 두 실근, D = 0: 중근, D < 0: 허근
📐 근의 공식 유도 직관
①완전제곱식 만들기: (x + b/2a)² = (b²-4ac)/4a²
②양변에 제곱근: x + b/2a = ±√D / 2a
③x에 대해 정리하면 근의 공식 완성
근과 계수의 관계

두 근 α, β를 직접 구하지 않아도 합과 곱을 계수만으로 알 수 있습니다.

-5
6
근과 계수의 관계 공식
근과 계수의 관계
α + β = -ba, αβ = ca
ax² + bx + c = 0에서 두 근의 합과 곱
두 근으로 이차식 복원
x² - (α+β)x + αβ = 0
합과 곱을 알면 방정식을 만들 수 있다
🔑 활용 예
①α² + β² = (α+β)² - 2αβ
②1/α + 1/β = (α+β) / αβ
③|α - β| = √((α+β)² - 4αβ) = √D / |a|
총정리
근의 공식
x = -b ± √(b² - 4ac)2a
이차방정식의 만능 풀이법
근과 계수의 관계
α + β = -ba, αβ = ca
근을 구하지 않고 합·곱 계산
🎯 시험 포인트
①판별식 D로 근의 존재 유무 먼저 판단
②D = 0 조건 → 접선, 중근 관련 문제
③근과 계수의 관계로 대칭식 값 계산
④두 근의 합·곱 → 새 이차방정식 작성
⑤허근은 켤레쌍 — 하나를 알면 다른 하나도 결정