공통수학›방정식과 부등식

여러 가지 방정식

Various Equations

삼차방정식 — 그래프로 근 찾기

삼차방정식 x³ + px + q = 0의 근은 그래프가 x축과 만나는 점입니다. 계수를 바꾸며 근의 개수가 어떻게 변하는지 관찰해 봅시다.

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💡 삼차방정식의 근
①삼차방정식은 최소 1개의 실근을 가진다
②그래프가 굴곡이 크면 (|p|가 크면) 3개의 실근 가능
③인수정리로 하나의 근을 찾고 → 조립제법으로 이차식으로 낮춘다
삼차·사차방정식 풀이 전략
인수분해 전략
정수 근 후보 → 조립제법 → 이차식으로 축소
상수항의 약수를 대입하여 근을 찾는다
치환 활용
x⁴ + ax² + b = 0 → t = x²로 치환
사차식이 이차식으로 변환
🔑 풀이 순서
①공통인수 확인
②정수 근 후보(상수항 약수) 대입
③조립제법으로 차수 낮추기
④남은 이차식에 근의 공식 적용
연립방정식 — 그래프의 교점

연립방정식의 해는 두 그래프의 교점입니다. 일차와 이차의 연립은 대입법으로 풀 수 있습니다.

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📐 연립방정식 풀이
①한 식을 다른 식에 대입하여 일원 방정식으로 변환
②x² = kx + 1 → x² - kx - 1 = 0
③판별식으로 교점 개수 판단
④교점 좌표 = 연립방정식의 해
특수한 방정식
절대값 방정식
|f(x)| = g(x) → f(x) = ±g(x)
두 경우로 나누어 풀기 (g(x) ≥ 0 확인)
무리 방정식
√(f(x)) = g(x) → f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
양변 제곱 후 반드시 검산
총정리
고차방정식 풀이 핵심
인수정리 + 조립제법 → 차수 낮추기
삼차·사차를 이차로 분해
🎯 시험 포인트
①삼차: 반드시 실근 1개 이상 존재
②사차: t = x² 치환 시도 (짝수 차수만 있을 때)
③연립: 대입법으로 일원 방정식 변환
④무리방정식: 양변 제곱 후 무연근 검산 필수
⑤절대값: 경우 분류 후 각각의 조건 확인