공통수학›방정식과 부등식

복소수

Complex Numbers

허수 단위 i의 탄생

x² = -1의 해가 필요해서 i² = -1인 수를 만들었습니다. i는 실수 축에서 벗어나 새로운 차원을 열어줍니다.

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💡 i의 순환 법칙
①i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i
②i⁴ = 1로 다시 돌아옴 → 4주기 순환
③i^n의 값: n을 4로 나눈 나머지로 결정
복소평면 — 복소수를 점으로

복소수 z = a + bi는 복소평면의 점 (a, b)로 나타냅니다. 가로축이 실수부, 세로축이 허수부입니다.

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🔑 복소평면의 핵심
①z = a + bi → 점 (a, b)
②z̄ = a - bi → 실수축 대칭 (a, -b)
③|z| = 원점까지의 거리 = √(a² + b²)
복소수의 연산
복소수의 덧셈
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
실수부끼리, 허수부끼리 더한다
복소수의 곱셈
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
분배법칙 후 i² = -1 적용
켤레복소수의 곱
z · z̄ = (a+bi)(a-bi) = a² + b² = |z|²
결과가 항상 실수 (허수부 소멸)
복소수의 상등 조건
복소수의 상등
a + bi = c + di ⟺ a = c, b = d
실수부와 허수부가 각각 같아야 한다
📐 상등 조건의 활용
①복소수 방정식에서 실수부·허수부를 비교하여 미지수 결정
②z = z̄ ⟺ b = 0 (순실수 조건)
③z = -z̄ ⟺ a = 0 (순허수 조건)
총정리
허수 단위
i² = -1, i의 거듭제곱은 4주기 순환
i⁰=1, i¹=i, i²=-1, i³=-i
절대값
|z| = |a + bi| = √(a² + b²)
복소평면에서 원점까지의 거리
🎯 시험 포인트
①i의 거듭제곱: 지수를 4로 나눈 나머지
②복소수 나눗셈: 분모의 켤레를 곱해 실수화
③z · z̄ = |z|²는 반드시 기억
④상등 조건: 실수부·허수부 따로 비교
⑤복소평면: 켤레복소수는 실수축 대칭