力矩与力学平衡

Torque & Rotational Equilibrium

推门时离铰链越远越省力，力矩与到轴的距离以及力的垂直分量成正比。力学平衡要求合力和合力矩都为 0，跷跷板上就是 m₁d₁ = m₂d₂。重的一侧靠近支点、轻的一侧坐远一些就能平衡。在这一页，你可以拖动右侧砝码的距离滑块，看跷跷板何时水平平衡。

同样的力,作用点不同效果不同

🚪 什么是力矩?

①推门时推门把(离合页远处)更容易开

②力矩 = 转轴到力的距离 × 力的垂直分量

③同样的力,离轴越远、越垂直,力矩越大

把跷跷板调到平衡

右侧重物到支点的距离 d₂3 m

⚖️ 何时平衡?

①左力矩 = 2 kg × 10 × 2 m = 40 N·m(固定)

②右力矩 = 1 kg × 10 × d₂

③当两力矩相等即 d₂ = 4 m 时,跷跷板水平平衡

力矩与平衡条件

力矩

τ = F · d = F · r sinθ

F=力,d=轴到力作用线的垂直距离(=r sinθ)

力学平衡条件

ΣF = 0 且 Στ = 0

合力为0且合力矩为0,才能保持静止(或匀速、匀角速)

杠杆(跷跷板)平衡

m₁ d₁ = m₂ d₂

重的一侧靠近,轻的一侧远离

从概念到题目

例题 1 — 跷跷板平衡

支点左侧 2 m 处坐着 40 kg 的人。右侧 4 m 处需坐多少 kg 才能使跷跷板平衡?

平衡条件:左力矩 = 右力矩。

m₁ d₁ = m₂ d₂

代入求 m₂。

40 × 2 = m₂ × 4 → m₂ = 20

▸ 20 kg

坐在离支点两倍远处,用一半的质量即可平衡。

例题 2 — 拉住杆的绳张力

长 4 m、重 60 N 的均匀杆,一端铰接在墙上,绳在另一端竖直向上拉以保持水平。求绳的张力。(绳在杆端为竖直方向)

取铰链(支点)为转轴,则铰链力的力矩为0。

Στ = 0

重力作用于中心(2 m),张力作用于端点(4 m)。

T × 4 = 60 × 2 → T = 30

▸ 30 N

把转轴取在未知力的作用点,该力便从方程中消失,计算更简单。

考试要点

高考题型改编 (物理学Ⅱ)

支点上的轻(忽略质量)杆,左端(距支点 2 m)挂重 W 的物体,右侧(距支点 d)挂重 30 N 的物体,处于平衡。当 d=3 m 时选出正确说法。

①W = 45 N。

②W = 20 N。

③把右侧物体移近支点仍保持平衡。

④杆的重量决定平衡。

⑤支点支撑杆的力为0。

▸ ① W = 45 N。

平衡条件 W × 2 = 30 × 3 = 90 → W = 45 N → ① 正确,② 错。

右侧移近则右力矩减小,平衡被打破 → ③ 错。

杆质量被忽略,故重量无关(④ 错),支点支撑两重量之和(75 N)(⑤ 错)。

🎯 考试要点

①力矩 τ = F·d(d=到轴的垂直距离),离轴越远越垂直越大

②力学平衡:ΣF=0 且 Στ=0(两者)

③杠杆平衡:m₁d₁ = m₂d₂

④把转轴取在未知力作用点更简便

⑤支点力由竖直合力条件 ΣF=0 求得