抛体运动

Projectile Motion

斜抛物体同时做水平匀速运动和竖直方向受重力的匀加速运动。两种运动相互独立，只共享时间；射程在 θ = 45° 最大，θ 与 90°−θ 相同。最高点仍有水平速度，速率不为 0。在这一页，你可以拖动抛射角和初速率滑块，观察轨迹、射程和最大高度。

水平与竖直互不干扰

🎯 运动的独立性

①斜抛物体同时进行水平运动与竖直运动

②水平:无力作用,速度恒定(匀速)

③竖直:只受重力,做匀加速运动

④两运动相互独立,仅共享时间 t

改变抛射角与速率

抛射角 θ45°

初速率 v₀20 m/s

📐 为何45°最远?

①射程 R = v₀²sin2θ/g — 当 sin2θ 最大(=1)即 θ=45° 时最远

②θ 与 90°−θ 射程相同(如30°与60°)

③角度越大,飞得越高越久

用公式表示水平、竖直运动

水平方向 — 匀速

x = v₀ cosθ · t, v_x = v₀ cosθ

水平速度不变(无力)

竖直方向 — 匀加速

y = v₀ sinθ · t − 12gt², v_y = v₀ sinθ − gt

重力 g 时刻改变竖直速度

射程、最大高度、飞行时间

水平射程

R = v₀² sin2θg

θ=45° 时最大

最大高度

H = (v₀ sinθ)²2g

最高点 v_y = 0

飞行时间

T = 2 v₀ sinθg

上升时间与下降时间相等

抛射角比较

Chart相同 v₀ 下按抛射角 (g=10)

抛射角	射程	最大高度
30°	中等 (sin60°)	低
45°	最大 (sin90°=1)	中等
60°	中等 (sin120°=sin60°)	高

从概念到题目

例题 1 — 射程计算

以初速率 20 m/s、抛射角 45° 抛出物体,求其水平射程。(g=10 m/s²)

代入射程公式。

R = v₀² sin2θg

代入 sin(2·45°)=sin90°=1。

R = 20² × 110 = 40

▸ 40 m

45° 时 sin2θ 取最大值 1,射程最长。

例题 2 — 最高点的速率

以初速率 20 m/s、抛射角 60° 抛出的物体到达最高点时,求其速率与运动方向。

最高点竖直速度 v_y = 0,故速率只剩水平分量。

求水平速度。

v_x = v₀ cosθ = 20 × cos60° = 20 × 0.5 = 10

▸ 速率 10 m/s,方向水平

最高点处水平速度仍在,故速率不为零。此处常被忽略。

考试要点

高考题型改编 (物理学Ⅱ)

以相同初速率,物体 A 以 30°、物体 B 以 60° 抛出。选出关于两物体的正确说法。(忽略空气阻力)

①A 的射程比 B 大。

②A 与 B 的射程相同。

③A 比 B 上升得更高。

④A 的飞行时间比 B 长。

⑤最高点处两物体速率为零。

▸ ② A 与 B 的射程相同。

射程 R ∝ sin2θ,而 sin(2·30°)=sin60°、sin(2·60°)=sin120°=sin60° 相等 → ②。

最大高度 H ∝ sin²θ,故 60° 的 B 升得更高、飞行时间更长 → ③、④错。

最高点处水平速度 v₀cosθ 仍在,速率不为零 → ⑤错。

🎯 考试要点

①水平=匀速(v₀cosθ),竖直=匀加速(重力) — 运动的独立性

②射程 R=v₀²sin2θ/g,45°最大,θ与90°−θ相等

③最大高度 H=(v₀sinθ)²/2g,最高点 v_y=0

④飞行时间 T=2v₀sinθ/g

⑤最高点速率不为零,而是水平分量 v₀cosθ