万有引力与开普勒定律

Gravitation and Kepler's Laws

苹果落地的力和月球绕地的力是同一种万有引力，一切质量相互吸引，力与距离平方成反比。开普勒定律说轨道是椭圆、相等时间扫过相等面积、周期平方与半长轴立方成正比。从万有引力公式还能推出人造卫星的轨道速度。在这一页，你可以拖动离心率滑块，观察椭圆轨道和面积速度定律。

万有引力的直觉

🌍 牛顿的苹果与月亮

①使苹果下落的力与维持月球绕地的力相同!

②任何质量相互吸引 — 万有引力

③距离越远力越弱(距离平方反比)

开普勒定律可视化

离心率 e (×100)40%

💡 开普勒三大定律

①第一定律(椭圆轨道):行星绕太阳运动,以太阳为一焦点

②第二定律(面积速度):同时间扫过面积相等(近日点更快!)

③第三定律(调和):T² ∝ a³(周期²与长半轴³成正比)

万有引力公式

万有引力定律

F = GMmr²

G = 6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²、M:中心天体质量、m:轨道物体质量

重力加速度与万有引力

g = GMR²

地表重力加速度 = GM/R² ≈ 9.8 m/s²

开普勒第三定律

开普勒第三定律(调和)

T² = 4π²GMa³

周期²与长半轴³成正比 — 可由万有引力推导!

🛰️ 应用于人造卫星

①卫星向心力=万有引力:mv²/r = GMm/r²

②轨道速度:v = √(GM/r) — 仅依赖高度

③地球同步卫星:T = 24小时 → r ≈ 36,000 km高空

例题演练

例题 1

两物体间距离变为 3 倍时，万有引力变为几倍？

万有引力 F = GMm/r²，与距离平方成反比。

F = GMmr²

r 变 3 倍则 r² 变 9 倍 → F 变 1/9 倍。

r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)² = 19F

▸ 1/9 倍

万有引力服从平方反比。距离为 n 倍时力为 1/n² 倍。

例题 2

行星 A 的公转周期是行星 B 的 8 倍，A 的轨道半长轴是 B 的几倍？（开普勒第三定律）

由开普勒第三定律 T² ∝ a³，得 a ∝ T⁽2/3)。

T² ∝ a³ ⇒ a ∝ T^2/3

T 为 8 倍，故 a 为 8⁽2/3) = 4 倍。

a_A/a_B = 8^2/3 = (2³)^2/3 = 4

▸ 4 倍

由 T² ∝ a³，半长轴之比是周期比的 2/3 次方。8 = 2³，故 8⁽2/3) = 4。

总结

万有引力

F = GMmr²

开普勒3定律

T² ∝ a³

高考类型变式

地表重力加速度为 g，则在距地心 3R（高度为 2 个地球半径）处的重力加速度是多少？

①g2

②g3

③g4

④g9

⑤g6

▸ ④ g9

重力加速度 g = GM/r²，与到地心距离的平方成反比。

g = GMr²

地表 r = R，所求点 r = 3R，故 g 为 1/9 倍。

g(3R) = GM(3R)² = g9

🎯 考试重点

①万有引力:F = GMm/r²(距离平方反比)

②轨道速度:v = √(GM/r) — 越高越慢

③开普勒1:椭圆轨道(太阳在焦点)

④开普勒2:面积速度恒定(近日点更快)

⑤开普勒3:T² = (4π²/GM)a³ — 周期²∝长半轴³