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高中二~高中三年级 (16-18岁)

高中物理 万有引力与开普勒定律

使苹果落地的力和把月球拉在地球周围的力，是同一种万有引力。一切有质量的物体都相互吸引，引力与距离的平方成反比。 开普勒定律有三条：行星沿以太阳为一个焦点的椭圆轨道运动，相同时间内扫过的面积相等，周期的平方与半长轴的立方成正比。 这些定律都可以由万有引力推导出来，人造卫星的环绕速度也用同样的方法求得。 在图中改变离心率，轨道变扁，按相同时间间隔标出的行星位置在靠近太阳的一侧分得更开。

万有引力的直觉

🌍 牛顿的苹果与月亮
①使苹果落地的力和拉住月球的力是同一种力
②一切有质量的物体都相互吸引，这种力叫作万有引力
③就像距离变为 2 倍时引力变为 1/4 一样，万有引力与距离的平方成反比

用图看开普勒定律

e = 0.40
💡 开普勒三定律
①第一定律（轨道定律）：行星沿以太阳为一个焦点的椭圆轨道运动
②第二定律（面积定律）：相同时间内扫过的面积相等，所以行星在离太阳近的近日点快，在远的远日点慢；图中绿点在近日点一侧间隔更大，就是这个原因
③第三定律（周期定律）：公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比（T² ∝ a³）

万有引力定律

万有引力定律
F = GMmr²
G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²，M：中心天体的质量，m：绕行物体的质量，r：两物体中心之间的距离
重力加速度与万有引力
g = GMR²
地表的重力加速度为 GM/R²，约 9.8 m/s²

开普勒第三定律

开普勒第三定律（周期定律）
T² = 4π²GMa³
周期的平方与半长轴的立方成正比；对圆轨道令向心力 = 万有引力，就能得到这个式子
🛰️ 应用于人造卫星
①做圆周运动的人造卫星由万有引力提供向心力，所以 mv²/r = GMm/r²
②环绕速度 v = √(GM/r) 只取决于到地心的距离 r，与卫星的质量无关
③地球同步卫星的周期是 24 小时，在离地面约 36,000 km 的高度运行

例题演练

例题 1
两物体间距离变为 3 倍时，万有引力变为几倍？
1
万有引力 F = GMm/r²，与距离的平方成反比。
F = GMmr2
2
r 变为 3 倍，r² 变为 9 倍，所以 F 变为原来的 1/9。
r→3r ⇒ F ∝ 1(3r)2 = 19F
▸ 1/9 倍
距离变为 n 倍，引力变为 1/n²。常见的错误是距离变为 3 倍，却答引力变为 1/3。
例题 2
行星 A 的公转周期是行星 B 的 8 倍，A 的轨道半长轴是 B 的几倍？（开普勒第三定律）
1
由开普勒第三定律 T² ∝ a³，得 a ∝ T2/3。
T2 ∝ a3 ⇒ a ∝ T2/3
2
T 是 8 倍，所以 a 是 82/3 = 4 倍。
aA/aB = 82/3 = (23)2/3 = 4
▸ 4 倍
把周期之比取 2/3 次方，就得到半长轴之比。8 = 2³，所以 82/3 = 2² = 4，正好是整数。

总结

万有引力
F = GMmr²
开普勒第三定律
T² ∝ a³
韩国高考类题改编
设地表的重力加速度为 g，在离地面高度为地球半径 2 倍处（距地心 3R），重力加速度是多少？
①g2
②g3
③g4
④g9
⑤g6
▸ ④ g9
1
重力加速度 g = GM/r²，与到地心距离的平方成反比。
g = GMr2
2
地表处 r = R，所求位置 r = 3R，所以 g 变为原来的 1/9。
g(3R) = GM(3R)2 = g9
🎯 考试重点
①万有引力 F = GMm/r² 与距离的平方成反比
②环绕速度 v = √(GM/r)，轨道越高的卫星运行越慢
③开普勒第一定律：行星沿以太阳为一个焦点的椭圆轨道运动
④开普勒第二定律：面积速度不变，所以在近日点快、在远日点慢
⑤开普勒第三定律：T² = (4π²/GM)a³，周期的平方与半长轴的立方成正比
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