匀速圆周运动

Uniform Circular Motion

匀速圆周运动速率恒定，但速度方向一直在变，所以仍有加速度。这个加速度始终指向圆心，叫向心加速度，用 a = v²/r = rω² 计算。向心力消失时，物体沿切线飞出做直线运动。在这一页，你可以拖动半径和角速度滑块，观察速度与向心加速度矢量如何变化。

圆周运动是加速运动!

🎡 为何匀速却有加速度?

①速率恒定但速度方向不断变化!

②方向变化即速度变化 → 存在加速度

③该加速度始终指向圆心 → 向心加速度

匀速圆周运动可视化

半径 r4 m

角速度 ω3 rad/s

💡 核心观察

①速度(v)始终切于轨道

②向心加速度(a)始终指向圆心

③r↑或ω↑ → 速度↑、向心加速度↑

匀速圆周运动公式

向心加速度

a = v²r = rω²

指向圆心的加速度:v²/r = rω²

线速度

v = rω

v(m/s) = r(m) × ω(rad/s)

周期与频率

T = 2πω = 2πrv

转一圈所需时间

向心力

F = ma = mv²r = mrω²

维持圆周运动所需力(指向圆心)

例题演练

例题 1

在半径 2 m 的圆上以线速度 4 m/s 做匀速圆周运动的物体，向心加速度是多少？

用向心加速度公式 a = v²/r。

a = v²r

代入 v = 4 m/s, r = 2 m。

a = 4²2 = 8 m/s²

▸ 8 m/s²（指向圆心）

向心加速度始终指向圆心。即使速率不变，方向改变也意味着存在加速度。

例题 2

把质量 0.5 kg 的物体系在 1 m 长的绳上，以角速度 2 rad/s 做水平圆周运动，绳的张力是多少？

张力充当向心力。F = mrω²。

F = mrω²

代入 m = 0.5 kg, r = 1 m, ω = 2 rad/s。

F = 0.5 × 1 × 2² = 2 N

▸ 2 N

绳的圆周运动中张力 = 向心力。按已知量选用 F = mrω² 或 mv²/r。

总结

向心加速度

a = v²r

线速度

v = rω

高考类型变式

匀速圆周运动中，半径不变而角速度变为 2 倍时，向心加速度变为几倍？

①2 倍

②4 倍

③12 倍

④不变

⑤8 倍

▸ ② 4 倍

向心加速度 a = rω²，与角速度平方成正比。

a = rω²

ω 变 2 倍则 ω² 变 4 倍 → a 也变 4 倍。

ω→2ω ⇒ a ∝ (2ω)² = 4rω²

🎯 考试重点

①匀速圆周:速率恒定·方向变化 → 存在加速度

②a = v²/r = rω²(始终指向圆心)

③F = mv²/r — 失去力则做直线运动

④v = rω, T = 2π/ω, f = 1/T = ω/(2π)

⑤向心力例:重力(卫星)、张力(线上球)、摩擦力(汽车过弯)