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高中二~高中三年级 (16-18岁)

高中物理 物质波与不确定性原理

既然光是波又具有粒子的性质，那么反过来，电子这样的粒子也可能具有波的性质，这就是德布罗意的想法。 物质波的波长 λ = h/p，与动量成反比，所以质量很小的电子波长与原子大小相当，可以观察到衍射，而棒球的波长约为 10⁻³⁴ m，根本显现不出来。 粒子的位置和动量不可能同时测得任意精确，这个限制就是海森堡不确定性原理。 在图中改变动量和动能，就能看出物质波的波长缩短了多少。

物质也是波吗

💡 德布罗意的想法
①既然光是波又具有粒子的性质，粒子会不会也具有波的性质
②1924 年德布罗意提出，一切物质都具有波动性
③波长与动量成反比，所以质量越小的粒子波长越长，波动性越容易显现
④棒球的波长约为 10⁻³⁴ m，比原子小得多，无法观测
⑤电子的波长约为 10⁻¹⁰ m，与原子间距相当，所以在晶体中能观察到衍射

德布罗意波长与动量

3
德布罗意波长
λ = hp = hmv
波长 = 普朗克常量 ÷ 动量
📐 读懂公式
①普朗克常量 h = 6.63 × 10⁻³⁴ J·s 是非常小的数
②p = mv，所以质量越大，波长越短得多
③即使是同一个粒子，速度变大、动量变大，波长也会变短；在图中把 p 加倍，λ 就减半
④因此，只有电子这样轻的粒子，波动性才明显

动能与波长

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动能与波长
λ = h√(2mE)
由动能 E = p²/2m 得 p = √(2mE)，代入 λ = h/p 得到的式子
光子能量
E = hf = hcλ
光电效应中使用的光子公式；物质波的波长用 λ = h/p 求
🔬 电子衍射实验
①1927 年戴维孙和革末用电子轰击镍晶体，得到了衍射图样
②证实了电子的波长与晶体中原子的间距相当
③这是第一次用实验证实物质波
④电子显微镜用波长比光短得多的电子物质波代替光，能分辨更小的细节

海森堡不确定性原理

不确定性原理
Δx · Δp ≥ h4π
位置不确定性 × 动量不确定性 ≥ h/4π
🔍 为什么不能同时测准
①要看到电子的位置，就必须用光（光子）去照它
②用波长短的光，位置测得准，但光子的动量大，会使电子的动量受到很大扰动
③用波长长的光，动量扰动小，但位置变得模糊
④这不是测量技术的限制，而是自然界本来就有的限制
⑤h 非常小，所以在宏观物体上这种不确定性显现不出来
⑥Δx 越小，Δp 的最小值越大，反之亦然

比较

经典力学与量子力学
类别经典力学量子力学
粒子位置可以准确确定存在不确定度 Δx
动量可以准确确定存在不确定度 Δp
同时测量两个量都能精确测量受 Δx·Δp ≥ h/4π 限制
适用对象宏观物体电子、质子等微观粒子

例题演练

例题 1
若粒子的动量变为 2 倍，其德布罗意波长变为几倍？
1
德布罗意波长 λ = h/p，与动量成反比。
λ = hp
2
p 变为 2 倍，λ 变为原来的 1/2。
p→2p ⇒ λ ∝ 12p = 12λ
▸ 1/2 倍
粒子越快或越重，动量越大，波长越短，波动性也就越难显现。
例题 2
若把粒子的动能增大为 4 倍，其德布罗意波长变为几倍？
1
在 λ = h/√(2mE) 中，波长与 √E 成反比。
λ = h√(2mE)
2
E 变为 4 倍，√E 变为 2 倍，所以 λ 变为原来的 1/2。
E→4E ⇒ λ ∝ 1√(4E) = 12λ
▸ 1/2 倍
能量变为 n 倍，波长变为原来的 1/√n。注意能量变为 4 倍时，波长不是变为 1/4，而是减半。

总结

德布罗意波长
λ = hmv
任何物质的波长 = 普朗克常量 ÷ 动量
不确定性原理
Δx · Δp ≥ h4π
位置和动量不能同时测得任意精确
韩国高考类题改编
将电子位置测得更精确，使位置不确定度 Δx 减为 1/2，则动量不确定度 Δp 的最小值如何变化？
①12 倍
②不变
③2 倍
④4 倍
⑤14 倍
▸ ③ 2 倍
1
在不确定性原理 Δx·Δp ≥ h/4π 中，两个不确定度的乘积有下限。
Δx · Δp ≥ h4π
2
Δx 变为 1/2 时，为了满足这个下限，Δp 的最小值必须变为 2 倍。
Δx→12Δx ⇒ Δp ≥ 2 × h4πΔx
🎯 考试重点
①德布罗意波长 λ = h/p = h/mv，质量或速度越大，波长越短
②电子衍射实验是物质波的实验证据
③不确定性原理 Δx·Δp ≥ h/4π 是自然界的根本限制
④对宏观物体来说 h 太小，波动性和不确定性都可以忽略
⑤电子显微镜利用电子物质波的波长比光短，分辨率高
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