狭义相对论

Special Relativity

狭义相对论从两个假设出发：所有惯性系中物理定律相同，光速对任何观察者恒为 c。仅由这两点就能推出时间膨胀、长度收缩和 E = mc²。速率越接近光速，这些效应越明显。在这一页，你可以拖动速率比 v/c 滑块，观察时间膨胀如何变大。

爱因斯坦的两个假设

💡 为何需要狭义相对论

①19世纪末:光速与观察者运动无关(迈克耳孙-莫雷实验)

②这与牛顿力学矛盾!→ 爱因斯坦提出新理论

③假设1:所有惯性系中物理定律相同(相对性原理)

④假设2:光速对观察者恒为c(光速不变)

⑤仅由这两个假设即可推出时间膨胀·长度收缩·E=mc²!

时间膨胀 — 运动的时钟变慢

v/c(速度比)0.6

洛伦兹因子

γ = 1√(1 - v²/c²)

v → c时γ → ∞(效应极大)

时间膨胀

Δt = γΔt₀

运动的时钟时间慢γ倍

🔬 μ介子寿命 — 实证!

①μ介子:宇宙射线在大气上层产生的粒子

②μ介子寿命约2.2μs → 即便以光速也只能行约660m

③但在10km高空产生的μ介子能到达地表!

④原因:μ介子以0.998c运动,γ ≈ 15.8

⑤μ介子参考系寿命2.2μs → 地球参考系34.8μs → 约10km!

长度收缩 — 沿运动方向缩短

长度收缩

L = L₀γ

运动物体沿运动方向收缩

📐 时间膨胀与长度收缩的关系

①Δt₀:固有时间(在事件发生处测量)

②L₀:固有长(与物体一同静止时测量)

③时间变慢 ↔ 长度变短(同一现象的两面)

④若v ≪ c,γ ≈ 1 → 日常感觉不到差异

质能等价 E = mc²

质能等价

E₀ = mc²

静止质量m自身具有mc²能量

相对论总能量

E = γmc²

含动能的总能量 = γmc²

相对论动能

E_k = (γ - 1)mc²

总能量 − 静止能量 = 动能

💣 1g所含能量

①E = mc² = 0.001 × (3×10⁸)² = 9 × 10¹³ J

②相当于TNT约21.5千吨(广岛原子弹规模!)

③太阳:每秒约400万吨质量转化为能量

④核裂变/核聚变:部分质量转化为能量

⑤'质量+能量'守恒比单纯质量守恒更准确

例题演练

例题 1

以 0.6c 运动的飞船经过固有时间 4 秒时，静止的地球观测者测得的时间是多少？（γ = 1.25）

用时间膨胀 Δt = γΔt₀。

Δt = γΔt₀

代入 γ = 1.25, Δt₀ = 4 秒。

Δt = 1.25 × 4 = 5 秒

▸ 5 秒

运动的钟走得慢（Δt > Δt₀）。固有时间 Δt₀ 是在事件发生的参考系中测得的值。

例题 2

固有长度 100 m 的飞船以 0.8c 运动时，地球观测者测得的长度是多少？（γ = 5/3）

用长度收缩 L = L₀/γ。

L = L₀γ

代入 L₀ = 100 m, γ = 5/3。

L = 1005/3 = 100 × 0.6 = 60 m

▸ 60 m

长度只沿运动方向收缩（L < L₀）。γ = 5/3，故 1/γ = 0.6，缩短到 60%。

总结

时间膨胀

Δt = γΔt₀

慢的时钟

长度收缩

L = L₀γ

变短的杆

质能

E = mc²

质量本身即能量

高考类型变式

静止质量 2 g 的物质完全转化为能量时释放的能量是多少？（c = 3×10⁸ m/s）

①9×10¹³ J

②1.8×10¹⁴ J

③6×10⁸ J

④1.8×10¹¹ J

⑤3.6×10¹⁴ J

▸ ② 1.8×10¹⁴ J

用质能等价 E = mc²（SI：m = 0.002 kg）。

E = mc²

代入 m = 0.002 kg, c = 3×10⁸ m/s。

E = 0.002 × (3×10⁸)² = 1.8×10¹⁴ J

🎯 考试重点

①γ = 1/√(1−v²/c²) — v越接近c增长越剧烈

②时间膨胀:Δt = γΔt₀(运动的时钟更慢)

③长度收缩:L = L₀/γ(仅沿运动方向)

④E₀ = mc² — 静止能量(质能等价)

⑤μ介子寿命延长、GPS校正 — 相对论的实际应用