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高中二~高中三年级 (16-18岁)

高中物理 电场与高斯定律

用气球那样的闭合面把电荷包起来，无论怎样改变气球的大小或形状，穿出这个面的电场线条数都不变。 用公式写出高斯定律，就是穿过闭合面的电通量等于面内电荷除以 ε₀。 像电荷均匀分布在球体上这样对称性好的情形，用这个定律可以很简单地求出电场。 在图中改变电荷 Q，电场线条数和电通量都与 Q 成正比地变化，而穿过大小不同的两个高斯面的电场线条数总是相同。

高斯定律的直觉

🎈 用气球来想
①用气球把电荷包起来，穿出气球的电场线条数是确定的
②把气球吹大或压扁，从电荷发出的每条线仍然各穿过气球一次，所以总电通量不变
③因此闭合面的电通量只由面内的电荷决定，其值为 Q/ε₀

高斯面与电通量

4 μC
💡 读图
①电荷越大，电场线越多，穿过面的电通量越大
②正电荷的电场线向外穿出，负电荷的电场线从外向内穿入
③S₁ 和 S₂ 大小不同，但每条线都各穿过两个面一次，所以两个面的电通量相等
④面外电荷发出的电场线穿进面后又穿出，对总电通量没有贡献

高斯定律的公式

高斯定律
∮ E · dA = Qε₀
穿过闭合面的电通量 = 面内电荷 ÷ 真空介电常数
应用于球对称
E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQr²
在包围点电荷的球面上 E 处处相等，所以由高斯定律可以直接得出库仑定律
🔑 高斯定律的用武之地
①对于对称性好的电荷分布，用高斯定律可以很简单地求出电场
②球对称：点电荷、均匀带电球体
③柱对称：无限长直线电荷，电场为 E = λ/(2πε₀r)
④导体内部 E = 0，多余的电荷都分布在表面上

例题演练

例题 1
闭合高斯面内部有 +2Q 和 −Q 两电荷，穿过该面的总电通量是多少？
1
总电通量只取决于面内的净电荷。
Φ = Qencε₀
2
代入面内净电荷 Qenc = 2Q − Q = Q。
Φ = 2Q − Qε₀ = Qε₀
▸ Q/ε₀
符号相反的电荷相加时相互抵消。从 +2Q 发出的电场线有一部分终止于 −Q，所以穿出面的电场线只相当于 Q。
例题 2
将包围点电荷 Q 的球形高斯面半径增大为 2 倍，穿过面的总电通量如何变化？
1
高斯定律只看面内的电荷，与面的形状和大小无关。
Φ = Qε₀ (与 r 无关)
2
面内电荷 Q 不变，所以电通量也不变。
Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)
▸ 不变
就像图中的 S₁ 和 S₂，面变大了，穿过的电场线条数还是一样。不过面上的电场 E 与 r² 成反比地减小，不要把电通量和电场混为一谈。

总结

高斯定律
∮ E · dA = Qenc / ε₀
ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² C²/(N·m²)
韩国高考类题改编
真空中点电荷 Q 在距离 r 处的电场为 E，则距离 2r 处的电场是多少？
①2E
②E2
③E4
④4E
⑤E
▸ ③ E4
1
对球对称情形应用高斯定律，得 E = kQ/r²，电场与距离的平方成反比。
E = kQr2
2
r 变为 2 倍，r² 变为 4 倍，所以 E 变为原来的 1/4。
E(2r) = kQ(2r)2 = E4
🎯 考试重点
①高斯定律 ∮E·dA = Q/ε₀ 是关于穿过闭合面总电通量的公式
②选取高斯面时，要利用对称性，使面上 E 的大小不变
③球对称时取球形高斯面，得到 E = kQ/r²
④导体内部电场为 0，电荷只分布在表面
⑤在静电学中，高斯定律与库仑定律表达的是同一内容
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