电场与高斯定律

Electric Field and Gauss's Law

用气球包住电荷时，穿过气球的电场线总数不随气球大小或形状改变。高斯定律说，闭合面的电通量等于内部电荷除以 ε₀。对称性好的电荷分布用这一定律就能方便地求电场。在这一页，你可以拖动电荷 Q 滑块，观察通量和电场如何变化。

高斯定律的直觉

🎈 用气球理解

①用气球包住电荷,穿过气球的电场线总数恒定

②改变气球的大小或形状,总通量不变!

③这就是高斯定律:闭合面的电通量 = 内部电荷/ε₀

高斯面与电通量

电荷 Q4 C

💡 核心观察

①电荷越大,穿过面的通量(箭头)越多

②正电荷:向外的通量;负电荷:向内的通量

③面外的电荷不影响总通量!

高斯定律公式

高斯定律

∮ E · dA = Qε₀

闭合面的电通量 = 内部电荷 / 真空介电常数

球对称的应用

E × 4πr² = Qε₀ → E = Q4πε₀r² = kQr²

球对称时由高斯定律推出库仑定律!

🔑 高斯定律的威力

①能极简地解高对称问题

②球对称:点电荷、均匀带电球

③圆柱对称:无限长线电荷、同轴圆柱

例题演练

例题 1

闭合高斯面内部有 +2Q 和 −Q 两电荷，穿过该面的总电通量是多少？

由高斯定律，总通量只取决于面内净电荷。

Φ = Q_encε₀

代入面内净电荷 Q_enc = 2Q − Q = Q。

Φ = 2Q - Qε₀ = Qε₀

▸ Q/ε₀

总通量仅由面内净电荷决定。异号电荷相加（相消）。

例题 2

将包围点电荷 Q 的球形高斯面半径增大为 2 倍，穿过面的总电通量如何变化？

高斯定律只看内部电荷，与面的形状、大小无关。

Φ = Qε₀ (与 r 无关)

内部电荷 Q 不变，故通量不变。

Φ(2r) = Qε₀ = Φ(r)

▸ 不变

总通量与面大小无关（只取决于电荷）。但面上的电场 E 按 1/r² 减小 — 要区分两者。

总结

高斯定律(核心)

∮ E · dA = Q_enc / ε₀

ε₀ = 8.85×10⁻¹² C²/(N·m²)

高考类型变式

真空中点电荷 Q 在距离 r 处的电场为 E，则距离 2r 处的电场是多少？

①2E

②E2

③E4

④4E

⑤E

▸ ③ E4

由高斯定律（球对称）E = kQ/r²，与距离平方成反比。

E = kQr²

r 变 2 倍则 r² 变 4 倍 → E 变 1/4 倍。

E(2r) = kQ(2r)² = E4

🎯 考试重点

①高斯定律:∮E·dA = Q/ε₀(闭合面总通量)

②高斯面选择:利用对称性使E沿面恒定

③球对称 → 球形高斯面 → E = kQ/r²

④导体内部电场=0(电荷只在表面!)

⑤高斯定律与库仑定律数学等价