机械能守恒

Conservation of Mechanical Energy

过山车从高处下落时越来越快，是因为势能在转化为动能。没有摩擦时，机械能总和守恒，只凭高度也能求出速率。可以把高处的势能想成在低处都变成了动能。在这一页，你可以拖动高度滑块，观察势能与动能如何此消彼长。

能量的转换

🎢 过山车的秘密

①过山车从高处下落时越来越快

②高度的能量(势能)转换为速度的能量(动能)!

③无摩擦时总能量恒定 → 守恒

能量守恒可视化

高度 h5 m

💡 核心观察

①顶部:势能100%、动能0%

②底部:势能0%、动能100%

③任意位置 PE + KE = 恒定!(能量守恒)

能量公式推导

动能

E_k = 12mv²

运动物体所具有的能量

势能(重力)

E_p = mgh

在高度h处物体具有的能量

机械能守恒

12mv₁² + mgh₁ = 12mv₂² + mgh₂

无摩擦时,任何位置总机械能相同

应用于自由落体

从高度h自由落下时底部速度

v = √(2gh)

mgh = ½mv² → v = √(2gh) (质量被消去!)

⚡ 质量被消去!

①能量守恒中 mgh = ½mv² → m两边消去

②无论轻重从同高度下落速度相同!

③这就是伽利略比萨斜塔实验的核心

例题演练

例题 1

从 20 m 高处静止释放的物体自由下落。落地瞬间的速度是多少？（g = 10 m/s²）

由机械能守恒 mgh = ½mv²，质量约去，得 v = √(2gh)。

v = √(2gh)

代入 g = 10, h = 20。

v = √(2 × 10 × 20) = √400 = 20 m/s

▸ 20 m/s

落地速度 v = √(2gh) 与质量无关。无论轻重，同样高度速度相同。

例题 2

从 5 m 高处静止释放的物体，动能与势能相等处的高度是多少？

总能量等于顶点势能 mg(5)。若 KE = PE，则各为总量的一半。

E_p = 12E_total = 12mg(5)

解 mgh = ½mg·5 求 h。

mgh = 12mg × 5 ⇒ h = 2.5 m

▸ 2.5 m

KE = PE 的位置始终在下落高度的一半处，与质量和 g 无关。

总结

动能

E_k = 12mv²

势能

E_p = mgh

能量守恒(核心)

E_k + E_p = 恒定 (无摩擦)

势能减少量 = 动能增加量

高考类型变式

在光滑斜面上从静止释放的物体到达底端时速率为 6 m/s。初始高度是多少？（g = 10 m/s²）

①1.2 m

②1.5 m

③1.8 m

④2.4 m

⑤3.6 m

▸ ③ 1.8 m

无摩擦，机械能守恒：mgh = ½mv² → h = v²/(2g)。

mgh = 12mv² ⇒ h = v²2g

代入 v = 6, g = 10。

h = 6²2 × 10 = 3620 = 1.8 m

🎯 考试重点

①机械能 = 动能 + 势能

②守恒条件:无非保守力(摩擦、空气阻力等)

③自由落体速度:v = √(2gh) — 与质量无关!

④单摆:最低点最大速度、最高点速度0

⑤有摩擦时:E_k + E_p = E₀ - W_摩擦(部分转化为热)