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高一~高中二年级 (15-17岁)

高中物理 机械能守恒

过山车从高处冲下来时越来越快，是因为重力势能在转化为动能。 没有摩擦和空气阻力时，两种能量之和即机械能保持初始值不变，所以只要知道高度，就能求出到底部时的速率。 在顶端具有的重力势能在下滑过程中一点点转化为动能，到底部时全部变成动能。 拖动高度滑块，可以看到顶端、中间、底部三处两种能量的条形此消彼长，而它们的和始终不变。

能量的转化

🎢 过山车的秘密
①过山车从高处下来时越来越快
②与高度有关的重力势能转化为与速率有关的动能
③没有摩擦时，两种能量之和始终不变
④图中按质量 m = 1 kg、g = 9.8 m/s² 计算
⑤有摩擦时，一部分机械能转化为热

能量守恒

5 m
💡 要观察的地方
①在顶端全部是重力势能，动能为 0
②在高度一半的中间处，两种能量各占一半
③在底部重力势能为 0，全部是动能
④无论在哪里，重力势能 + 动能都相同

能量公式

动能
Ek = 12mv²
运动物体具有的能量
重力势能
Ep = mgh
位于参考面以上高度 h 处的物体具有的能量
机械能守恒定律
12mv₁² + mgh₁ = 12mv₂² + mgh₂
没有摩擦时，物体在任何位置的机械能都相同

应用于自由落体

从高度 h 落下的物体到底部的速率
v = √(2gh)
在 mgh = ½mv² 中，质量 m 从两边消去，得到 v = √(2gh)
⚡ 质量被消去
①mgh = ½mv² 两边都有 m，可以消去
②所以不计空气阻力时，重球和轻球从同一高度落下的速率相同
③这正是以比萨斜塔故事流传的伽利略的想法
④单摆也是一样，在最低点速率最大，在最高点速率为 0

例题

例题 1
从 20 m 高处静止释放的物体自由下落。落地瞬间的速度是多少？（g = 10 m/s²）
1
在 mgh = ½mv² 中质量被消去，所以 v = √(2gh)。
v = √(2gh)
2
代入 g = 10，h = 20。
v = √(2 × 10 × 20) = √400 = 20 m/s
▸ 20 m/s
到底部的速率 √(2gh) 与质量无关。
例题 2
从 5 m 高处静止释放的物体，动能与势能相等处的高度是多少？
1
初始能量是顶端的重力势能 mg × 5。动能与势能相等时，各占它的一半。
Ep = 12Etotal = 12mg(5)
2
由 mgh = ½ × mg × 5 解出 h。
mgh = 12mg × 5 ⇒ h = 2.5 m
▸ 2.5 m
两种能量相等的位置总是在初始高度的一半处，与质量和 g 无关。

小结

动能
Ek = 12mv²
重力势能
Ep = mgh
能量守恒
Ek + Ep = 恒定 (无摩擦)
重力势能减少多少，动能就增加多少
韩国高考类题改编
在光滑斜面上从静止释放的物体到达底端时速率为 6 m/s。初始高度是多少？（g = 10 m/s²）
①1.2 m
②1.5 m
③1.8 m
④2.4 m
⑤3.6 m
▸ ③ 1.8 m
1
没有摩擦，所以 mgh = ½mv²，得 h = v²/(2g)。
mgh = 12mv2 ⇒ h = v22g
2
代入 v = 6，g = 10。
h = 622 × 10 = 3620 = 1.8 m
🎯 考试要点
①机械能 = 动能 + 重力势能
②没有摩擦力和空气阻力时机械能守恒
③从高度 h 落下的物体速率 v = √(2gh)，与质量无关
④单摆在最低点最快，在最高点停下
⑤有摩擦时，机械能减少的量等于摩擦力做的功，转化为热
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