三角比

Trigonometric Ratios

三角比是直角三角形中两条边长的比值，只要角度确定，sin、cos、tan 的值也就随之定下。正因如此，不用亲自攀爬，就能测出建筑、树木或山的高度。从远处量出距离和仰角，高度 = 距离 × tan(角度) 就能轻松算出。在本页可以拖动角度滑块观察三角比的变化，并比较 30°、45°、60° 这三个特殊角的值。

什么是三角比? — 直角三角形的边比

角度 θ30°

📐 三角比的定义

①sin θ = 高 / 斜边（对边/斜边）

②cos θ = 底 / 斜边（邻边/斜边）

③tan θ = 高 / 底（对边/邻边）

④斜边为1：sin=高、cos=底

特殊角的三角比（30°、45°、60°）

特殊角45°

⭐ 特殊角记忆法

①30°: sin=1/2, cos=√3/2, tan=√3/3

②45°: sin=cos=√2/2, tan=1

③60°: sin=√3/2, cos=1/2, tan=√3

④30°↔60°: sin 与 cos 互换!

三角比的核心关系

三角比关系式

tan θ = sin θcos θ

tan 即 sin/cos

勾股恒等式

sin²θ + cos²θ = 1

斜边=1 的直角三角形勾股定理

💡 关系式应用

①已知 sin θ → cos θ = √(1−sin²θ)

②知一可求其它

③0° < θ < 90° 时 sin、cos、tan 均为正

三角比的应用 — 高度与距离

求高度

高度 h = d × tan θ

由距离 d 与仰角 θ 求高度

🏢 生活实例

①建筑物高：距离50m、仰角30° → h = 50×tan30° ≈ 28.9m

②树高、山高、塔高同理

③俯角同法

动手解题

例题 1

求 sin 30° 的值。

回忆特殊角 30° 的三角比表。

30° → sin=1/2

故 sin30° = 1/2。

sin30° = 1/2

▸ 1/2

特殊角（30°、45°、60°）的值要熟记。

例题 2

直角三角形中 sin A = 3/5, 斜边长为10。求角A的对边长。

因 sin A = 对边/斜边, 故对边 = 斜边 × sin A。

sin A = 对边/斜边

对边 = 10 × (3/5) = 6。

对边 = 10 × 3/5 = 6

▸ 6

由 sin = 对边/斜边得对边 = 斜边 × sin。

考试要点整理

三角比总结

sin = 对边斜边, cos = 邻边斜边, tan = 对边邻边

SOH-CAH-TOA 记忆

初三内考类型

tan 60° 的值是？

①√3/3

②1/2

③√2

④√3

⑤2

▸ ④ √3

查特殊角 60° 的三角比表。

60° → tan=√3

故 tan60° = √3。

tan60° = √3

🎯 考试要点

①特殊角三角比必须熟记

②由 sin²θ+cos²θ=1 求其余三角比

③用 tan = sin/cos 关系

④高度·距离问题：判断使用哪个三角比

⑤仅锐角（0°~90°）（钝角属高中）