seegongsik
初中三年级 (14-15岁)

初中数学 三角比

锐角三角函数是直角三角形中两条边的比，只要一个锐角的大小确定，不论三角形大小如何，sin、cos、tan 的值就都确定了。 因为一个锐角相等的直角三角形都相似，它们对应边的比相等。 正因为这个性质，不必爬上建筑物或大树，只要测出相距的距离和仰角，就能算出高度。 图中画的是斜边为 1 的直角三角形，所以改变角 θ 时，可以看到对边随 sin θ、邻边随 cos θ 一起变化。

直角三角形的边之比

30°
📐 锐角三角函数的定义
①sin θ = 对边 ÷ 斜边，即角 θ 所对的边除以斜边。
②cos θ = 邻边 ÷ 斜边，即与角 θ 相邻的直角边除以斜边。
③tan θ = 对边 ÷ 邻边。
④斜边为 1 时，对边就是 sin θ，邻边就是 cos θ，图中正是这种情况。

特殊角的三角函数值（30°、45°、60°）

45°
⭐ 特殊角的值
①30° 时，sin = 1/2，cos = √3/2，tan = √3/3。
②45° 时，sin = cos = √2/2，tan = 1。
③60° 时，sin = √3/2，cos = 1/2，tan = √3。
④30° 和 60° 的 sin 与 cos 值互换，因为两角之和为 90°，一个角的对边正是另一个角的邻边。

三角函数之间的关系

tan 与 sin、cos 的关系
tan θ = sin θcos θ
tan θ 等于 sin θ 除以 cos θ。
由勾股定理得到的关系
sin²θ + cos²θ = 1
这是对斜边为 1 的直角三角形应用勾股定理。
💡 关系式的应用
①已知 sin θ，可以用 cos θ = √(1 − sin²θ) 求出 cos θ。
②只要知道一个三角函数值，就能求出另外两个。
③0° < θ < 90° 时，sin、cos、tan 都是正数。
④图右侧的 sin² + cos² 无论角怎样变化都等于 1。

求高度和距离

求高度
高度 h = d × tan θ
由水平距离 d 和仰角 θ 算出高度。
🏢 生活中的例子
①在离建筑物 50 m 处测得楼顶的仰角为 30°，则 h = 50 × tan 30° ≈ 28.9 m。
②树、塔、山的高度也用同样的方法求。
③测量是在眼睛高度进行时，要在算出的高度上加上眼高。
④俯角问题也一样，构造直角三角形来解。

例题演练

例题 1
求 sin 30° 的值。
1
30° 是特殊角，回想它的值。
30° → sin=1/2
2
这个直角三角形的对边是斜边的一半，所以 sin 30° = 1/2。
sin30° = 1/2
▸ 1/2
30°、45°、60° 的值可以直接从等边三角形和等腰直角三角形得到。
例题 2
直角三角形中 sin A = 3/5，斜边长为10。求角A的对边长。
1
sin A = 对边 ÷ 斜边，所以对边 = 斜边 × sin A。
sin A = 对边/斜边
2
10 × 3/5 = 6。
对边 = 10 × 3/5 = 6
▸ 6
把 sin 的定义反过来用，就能由斜边和角求出对边长。

考点整理

锐角三角函数的定义
sin = 对边斜边, cos = 邻边斜边, tan = 对边邻边
对边和邻边都以角 θ 为基准来读；角一变，对边和邻边也跟着变。
初三 内考类型
tan 60° 的值是？
①√3/3
②1/2
③√2
④√3
⑤2
▸ ④ √3
1
查特殊角 60° 的三角比表。
60° → tan=√3
2
故 tan60° = √3。
tan60° = √3
🎯 考点
①准确记住 30°、45°、60° 的三角函数值。
②用 sin²θ + cos²θ = 1 求其余的三角函数值。
③利用 tan θ = sin θ ÷ cos θ。
④高度、距离问题中，根据已知边和所求边决定用哪个三角函数。
⑤初中只讨论 0° 到 90° 的角。
← 上一页
二次函数的应用
下一页 →
圆与直线

最后更新

如果有帮助，请支持我们